Oliver Labs Frank-Olaf Schreyer Algebraische Topologie - Mathematik

32 1 Die Fundamentalgruppe
2. Der Beweis von Satz 1.39 zeigt, dass die Blätterzahl der Überlagerung, die aus
der lokal einfachen Operation einer Gruppe G entsteht, gerade die Mächtigkeit
|G| dieser Gruppe ist.
Beispiel/Definition 1.43. 1.Z⊂R operiert durch Translation: (n, x)↦→ x+n.
Zu x∈R ist V=]x−ε, x+ε[,ε≤ 1 2
, eine Umgebung, die zeigt, dass die
Operation lokal einfach ist. Es gilt:
R/Z≈S 1 vermöge x↦→ (cos 2πx, sin 2πx).
2.µ n := Gruppe der n-ten Einheitswurzeln inC ∗ .µ n operiert aufC ∗ lokal
einfach durch Multiplikation. Es gilt:
C ∗ /µ n ≈C ∗ .
Die Quotientenabbildung ist:C ∗ →C ∗ , z↦→ z n .
3. G=({±1},·) operiert lokal einfach auf S n . Der projektive Raum ist:
P n R := Sn /{±1}={ Menge der Ursprungsgeraden imR n+1 }.
Speziell: S 2 →P 2 R . Wir können das Möbiusband als Teilmenge desP2 R
erkennen mit:P 2 = Möbiusband∪Kreisscheibe. Das Möbiusband ist
R
hierbei der topologische Raum, der entsteht, indem wir zwei gegenüberliegende
Seiten des kompakten Einheitsquadrates entsprechend der Abbildung
1.13 identifizieren.
Das Einheitsquadrat. Das Möbiusband. Die Sphäre S 2 .
Abbildung 1.13. Das Möbiusband als Bild des Einheitsquadrats und als Teil desP 2 (R)
unter der Überlagerung S 2 →P 2 (R).
4.R 2 /Z 2 ≈ S 1 × S 1 , der sogenannte Torus. Die Abbildung 1.14 zeigt hierbei
nur eines der Gitterquadrate der Ebene, deren Projektion zum Torus
identifiziert werden kann (jeweils gegenüberliegende Seiten verkleben).
5. Die Operation aufR 2 , erzeugt von
α: (x, y)↦→ (x+1, y) undβ: (x, y)↦→ (−x, y+ 1)
— Version vom: 26. September 2007 —