Oliver Labs Frank-Olaf Schreyer Algebraische Topologie - Mathematik

14 1 Die Fundamentalgruppe
X
α=H(0,.)
α(1)=β(1)=x 1
α(0)=β(0)=x 0
β=H(1,.)
Abbildung 1.1. Homotopie von Wegen.
Beispiel 1.2. X sei ein topologischer Raum.
1. Seienα,β,γ Wege von x 0 nach x 1 , x 1 nach x 2 bzw. x 2 nach x 3 , x i ∈ X. Dann
sind (α∗β)∗γ undα∗(β∗γ) homotope Wege von x 0 nach x 3 , in Zeichen:
(α∗β)∗γ∼α∗(β∗γ).
Dies zeigt die Homotopie (s. Abb. 1.2):
⎧
⎪⎨
H(s, t)=
⎪⎩
α((4−2s)t), 0≤t≤ s+1
4 ,
β(4t−(s+1)),
s+1
4
≤ t≤ s+2
4 ,
γ ( (2+2s)t−(1+2s) ) ,
s+2
4
≤ t≤1.
α(4t)
t= 1 t= 1 4 2
β(4t−1)
γ(2t− 1)
s=0
s
x 0 x 1 x 2
x 3
α(2t)
β(4t−2)
t= 1 2
t= 3 4
γ(4t−3)
s=1
Abbildung 1.2. Assoziativität der Verknüpfung von Wegen.
2. Seiε x0 der konstante Weg mit Wert x 0 ∈ X und seiα: [0, 1]→X ein
beliebiger Weg mitα(0)=x 0 . Dann gilt:
ε x0 ∼α∗α −1 .
Dies zeigt die Homotopie (s. Abb. 1.3):
⎧
α(2t), 0≤t≤ 1 2
⎪⎨
(1−s)
1
H(s, t)= α(1−s),
2
⎪⎩
(1−s)≤t≤ 1 2 (1+s)
1
α(2−2t),
2 (1+s)≤t≤1.
— Version vom: 26. September 2007 —