Oliver Labs Frank-Olaf Schreyer Algebraische Topologie - Mathematik

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28 1 Die Fundamentalgruppe Ist nun z∈M = , dann gilt˜W 1 =˜W 2 nach Definition einer Überlagerung und daher f ˜ 1 (z)= f ˜ 2 (z)∀z∈U. Ist andererseits z∈M , so gilt nach Definition einer Überlagerung nun˜W 1 ∩˜W 2 =∅ und daher f ˜ 1 (z) f ˜ 2 (z)∀z∈U. In beiden Fällen haben wir also eine offene Umgebung von z∈Zgefunden, die entweder ganz in M = oder ganz in M enthalten ist. Somit sind beide Mengen offen. ⊓⊔ — Als Übung! Beispiel 1.30. Es ist nicht schwer, ein Beispiel für eine nicht eindeutige Liftung anzugeben.|— Wir betrachten das Diagramm g, h ]0, 1[∪]2, 3[ i: x↦→ x ]0, 1[∪]2, 3[ × ]0, 1[∪]2, 3[ p 1 : (x, a)↦→ x ]0, 1[∪]2, 3[ Die Abbildungen g und h mit g(x)= { (x, 0), falls x∈]0, 1[, (x, 0), falls x∈]2, 3[, h(x)= { (x, 0), falls x∈]0, 1[, (x, 1), falls x∈]2, 3[, sind verschiedene Liftungen von i, obwohl sie in einem Punkt übereinstimmen: g( 1 2 )=h( 1 2 — ). —| ⊓⊔ Häufig ist das folgende Lemma hilfreich (das in vielen Fällen bereits in der Analysis bewiesen wird). Wir werden es verwenden, um die Existenz gewisser Liftungen zeigen zu können. — Als Übung! — Lemma 1.31 (von Lebesgue). Gegeben sei eine offene Überdeckung eines kompakten metrischen Raumes K. Dann gibt es einε>0, so dass jede Teilmenge von K, die vom Durchmesser kleiner alsεist, enthalten ist in einer der Mengen der offenen Überdeckung. Beweis. |— Falls nicht, gibt es für jede ganze Zahl n∈Z eine Teilmenge A n von K mit Durchmesser kleiner als 1 n und nicht enthalten in einer offenen Menge der Überdeckung. Da K kompakt ist, gibt es einen Punkt P, so dass jede Umgebung von P die Menge A n trifft für unendlich viele n. Sei U eine offene Menge der Überdeckung, die P beinhaltet, und sei r > 0, so dass ◦ B r (P)⊂U. Es gibt unendlich viele n mit 1 n < r 2 , so dass A n∩ B ◦ r/2 (P)∅. Aber A n ⊂ U, ein Widerspruch. —| ⊓⊔ Satz 1.32 (Pfadliftung). Sei p: Y→X eine Überlagerung, undγ: [a, b]→X ein Weg. Sei y∈Yein Punkt mit p(y)=γ(a). Dann existiert genau eine Liftung ˜γ: [a, b]→Y mit˜γ(a)= y: — Version vom: 26. September 2007 —
1.3 Überlagerungen und Liftungen 29 [a, b] ∃˜γ γ Y X ∋ y=˜γ(a) ∋γ(a) Beweis. Die Eindeutigkeit folgt direkt aus Satz 1.29. Um die Existenz einzusehen, betrachten wir die Überdeckung{U i | U i Überlagerungsumgebung von X} und die induzierte Überdeckung{γ −1 (U i )} i∈I des kompakten Intervalls [a, b]. Nach dem Lemma von Lebesgue existiert eine Unterteilung a=t 0 < t 1
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