Oliver Labs Frank-Olaf Schreyer Algebraische Topologie - Mathematik

2.4 Singuläre Homologie 69
b 1
b 0
a 1
b 2
a 0 a 2
Abbildung 2.7. Die Prismenkonstruktion zum Beweis des Homotopieaxioms.
und damit:
···
∂
C n (X)
∂
C n−1 (X)
∂
···
···
∂ C n+1 (Y)
β
∂
C n (X)
g ∗ − f ∗
β
∂
C n−1 (X)
g ∗ − f ∗
β
∂
···
Man kann nachrechnen (wiederum ähnlich dem Beweis für∂◦∂=0 weiter
oben), dass gilt:
∂◦β+β◦∂= g ∗ − f ∗ : C n (X)→C n (Y),
wobei f ∗ , g ∗ : C•(X)→C•(Y) wie oben definiert die von f, g: X→Yinduzierten
Abbildungen auf den Komplexen sind.
Wir müssen noch einsehen, dass damit auch schon die Abbildungen auf der
Homologie gleich sind: Ist z∈Z n (X)=Kern(∂: C n (X)→C n−1 (X)) ein Zykel,
dann gilt wegen der Bemerkung 2.44: f ∗ (∂z)=∂( f ∗ z) und g ∗ (∂z)=∂(g ∗ z) und
daher mit der Identität von oben:
g ∗ (z)− f ∗ (z)=∂(β(z))+β(∂(z) )=∂(β(z)).
}{{}
Die letzte Gleichung gilt, da z ein Zykel ist. Also ist g ∗ (z)− f ∗ (z) ein Rand, so
dass g ∗ (z) und f ∗ (z) die gleiche Homologieklasse definieren und daher sind
f ∗ und g ∗ auf der Homologie die gleichen Abbildungen. ⊓⊔
Wir fassen das, was wir am Ende des obigen Beweises gesehen haben, noch
einmal mit einem eigenen Begriff zusammen:
Definition 2.49. Seien f•, g• : (C•,∂)→(D•,∂) zwei Morphismen zwischen Komplexen.
Eine Homotopie zwischen f• und g• ist eine Familieβ• vonβ p : C p → D p+1
mit:
=0
— Version vom: 26. September 2007 —