Oliver Labs Frank-Olaf Schreyer Algebraische Topologie - Mathematik

54 2 Homologie
Bemerkung 2.9. 1. Freie abelsche Gruppen sind im Allgemeinen keine freien
Gruppen, obwohl die freie GruppeZmit einem Erzeuger frei abelsch ist.
2.Z≺∅≻ ist die Gruppe, die aus genau einem Element besteht:Z≺∅≻={0}=0.
3. DieZ ≺ M ≻ zugrunde liegende Menge ist die Menge aller Abbildungen
ϕ:Z→Mmitϕ(m)0für höchstens endliche viele m∈M. Für m∈M und
k∈Z bezeichnet k·m oder km diejenige Abbildungϕ: M→Z mitϕ(m)=k
undϕ(n)=0∀n∈M\{m}. Jedes Elementϕ∈Z≺M≻lässt sich auf genau
eine Weise schreiben als ∑
ϕ= k m· m
m∈M
mit k m 0 für höchstens endlich viele m∈M. Dies ist nicht schwer nachzurechnen
([May89, Bem. III.1.5, S. 105]).
Satz 2.10 (Universelle Eigenschaft der freien abelschen Gruppen). Es seien
M eine Menge und g: M→A eine Abbildung von M in eine abelsche Gruppe
A. Dann gibt es genau einen Homomorphismus g ∗ :Z≺M≻→ A, so dass das
Diagramm
kommutativ ist.
f M
M
Z≺M≻
g
g ∗
A
Beweis. [May89, Satz III.1.6, S. 105]
⊓⊔
Definition 2.11. Sei A eine abelsche Gruppe und B⊂A eine Teilmenge. B heißt
linear unabhängig, wenn für alle Familien (n b ) b∈B ganzer Zahlen mit n b 0 für
höchstens endlich viele b∈B gilt:
∑
n b b=0⇒ n b = 0∀b∈B.
b∈B
B heißt eine Basis von A, wenn es zu jedem a∈A genau eine Familie (n b ) b∈B ganzer
Zahlen mit n b 0 für höchstens endlich viele b∈Bgibt mit a= ∑ b∈B n b b.
Eine abelsche Gruppe A heißt freie abelsche Gruppe, wenn sie eine Basis besitzt.
Bemerkung 2.12. 1. Ist M eine Menge, so istZ≺M≻ eine freie abelsche Gruppe,
und die Menge M ist eine Basis vonZ≺M≻.
2. Ist A eine freie abelsche Gruppe mit Basis B, so ist A isomorph zuZ≺B≻, d.h.:
AZ≺B≻.
3. Eine freie abelsche Gruppe lässt sich definieren als eine Gruppe, die isomorph zu
Z≺M≻ist für eine Menge M.
— Version vom: 26. September 2007 —