Oliver Labs Frank-Olaf Schreyer Algebraische Topologie - Mathematik

2.5 Das Ausschneidungsaxiom 77
Abbildung 2.13. Definition der Abbildung K b [a 0 ,...,a n ].
3. Wir definieren nun Unterteilungsoperatoren
U n : C aff
n (V)→Caff n (V),
wobei C aff
n (V) die affinen Simplizes in V bezeichnet. Dazu setzen wir U 0= id,
(
U n [a0 ,..., a n ] ) ( (
:= Kā Un−1 ∂[a0 ,..., a n ] )) .
Lemma 2.67. Es gilt:
∂ n U n = U n−1 ∂ n .
Beweis. Mit Induktion.
⊓⊔
Wir verallgemeinern U n nun auf beliebige topologische Räume:
Definition 2.68. Wir setzen:
U n : C n (X)→C n (X), U n (σ) :=σ◦U n (id ∆n ).
Weiterhin gilt∂ n U n = U n−1 ∂ n und außerdem:
Lemma 2.69. U n induziert die Identität auf der Homologie H n (X).
Beweis. Leider haben wir keine Zeit, hier eine Homotopie R n : C n (X) →
C n+1 (X) zwischen U n und id C• (X) zu konstruieren. Dies wäre etwa eine Seite
Detailarbeit.
⊓⊔ Problem:
Es fehlt noch etwas!
Die Gruppen H n (X,a)
Definition 2.70. Sei X ein topologischer Raum unda={U i | i∈I} eine Überde-
◦
ckung von X mit ⋃ i∈I U i = X (das Innere liefert also eine offene Überdeckung). Wir
definieren:
C n (a) := C n (X,a) :=〈σ∈C n (X)|Bildσ⊂U i für ein i〉
als die Simplizes mit Feinheita.
— Version vom: 26. September 2007 —