Oliver Labs Frank-Olaf Schreyer Algebraische Topologie - Mathematik

38 1 Die Fundamentalgruppe
mit p(y)=p ′ (y ′ ). Genau dann gibt es einen Überlagerungsisomorphismusϕmit
ϕ(y)= y ′ , wenn:
p ∗ (π 1 (Y, y))=p ′ ∗(π 1 (Y ′ , y ′ )).
Beweis. Wir wenden Satz 1.53 zweimal an, p und p ′ vertauschen dabei die
Rollen.
⊓⊔
Insbesondere sind dann Y und Y ′ homöomorph! Wir haben also eben
ein algebraisches Kriterium bewiesen, mit dem wir nicht nur die Nicht–
Homöomorphie, sondern sogar die Homöomorphie zweier topologischer
Räume nachweisen können.
Definition 1.55. Eine Untergruppe U einer Gruppe G heißt Normalteiler oder
normale Untergruppe, falls gilt:
∀u∈U,∀g∈G: g −1 ug∈U.
Äquivalent dazu sind:∀g∈G: g −1 Ug⊂Uund auch∀g∈G: g −1 Ug=U.
Die Menge G/U ist dann eine Gruppe.
Satz 1.56. Seien p: Y→X eine Überlagerung, Y zusammenhängend und X lokal
wegzusammenhängend, y∈Y und x=p(y). Ist p ∗ (π 1 (Y, y))⊂π 1 (X, x) ein
Normalteiler, dann gibt es einen kanonischen Isomorphismus
π 1 (X, x)/p ∗ (π 1 (Y, y))Deck(Y/X).
Ferner gilt: X≈Y/G mit G=Deck(Y/X).
Beweis. Wir wollen eine Operation
π 1 (X, x)×Y→Y, ([α], z)↦→ [α].z∈Y,
erklären. Sei dazu z∈Y. Wir wählen einen Wegγvon y nach z. Ist [α]∈
π 1 (X, x), alsoαein geschlossener Weg, so betrachten wir den Wegα∗(p◦γ)
in X. Pfadliftung liefert einen Wegρ
Y
ρ
α∗(p◦γ)
[0, 1]
X
mit Anfangspunktρ(0)= y und Endpunktρ(1)=w∈Y. Wir haben also einen
Punkt w=w(α,γ)∈Y definiert. Homotopieliftung zeigt, dass w nur von der
Homotopieklasse [α] abhängt, dass also w=w([α],γ). Um die gewünschte
Operation zu bekommen, bleibt zu zeigen, dass w nicht von der Wahl des
Wegesγvon y nach z abhängt.
— Version vom: 26. September 2007 —