Oliver Labs Frank-Olaf Schreyer Algebraische Topologie - Mathematik

Inhaltsverzeichnis
0 Einführung 3
0.1 Die grundlegende Fragestellung . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
0.2 Erinnerung an die wesentlichen Begriffe . . . . . . . . . . . . . 4
0.3 Zusammenhang und Wegzusammenhang . . . . . . . . . . . . 6
1 Die Fundamentalgruppe 13
1.1 Definition der Fundamentalgruppe und erste Beispiele . . . . 13
1.2 Die Fundamentalgruppe des Kreises . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.1 Berechnung der Fundamentalgruppe . . . . . . . . . . 20
1.2.2 Die Umlaufzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2.3 Eine Anwendung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3 Überlagerungen und Liftungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4 Decktransformationen und Universelle Überlagerung . . . . . 30
1.4.1 Gruppenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.4.2 Decktransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.4.3 Lokaler Wegzusammenhang . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.4.4 Universelle Überlagerung . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.5 Der Satz von Seifert – van Kampen . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.5.1 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.5.2 Der Beweis des Satzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2 Homologie 51
2.1 Kategorien und Funktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.2 Erinnerung: Abelsche Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2.1 Freie abelsche Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2.2 Exakte Sequenzen abelscher Gruppen . . . . . . . . . . 55
2.2.3 Endlich erzeugte Abelsche Gruppen . . . . . . . . . . . 56
2.3 Simpliziale Homologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.3.1 Simpliziale Komplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.3.2 Simpliziale Homologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.3.3 Komplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.4 Singuläre Homologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.5 Das Ausschneidungsaxiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.5.1 Anwendungen des Ausschneidungsaxioms . . . . . . . 72
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