Oliver Labs Frank-Olaf Schreyer Algebraische Topologie - Mathematik

1.5 Der Satz von Seifert – van Kampen 49
Beweis (nur Beweisidee; für eine ausführlichere Form siehe [Ful95], S. 193–196).
Wie wir bereits wissen, gilt: Deck(˜X/X)≃π 1 (X, x). Wir wählen einen Basispunkt
˜x∈ ˜X über x, so dass obiger Isomorphismus eindeutig definiert ist
(vermöge Wegliftung). Wir betrachten zu einemρ∈Hom(π 1 (X, x), G) auf
˜X×G folgende Operation vonπ 1 (X, x):
π 1 (X, x)×(˜X×G)→˜X×G, [σ].(z× g)= ([σ].z)× g·ρ([σ] −1 )=([σ].z)× g·ρ([σ]) −1 .
Hierbei ist [σ].z die weiter oben beschriebene Wirkung vonπ 1 (X, x) auf˜X (die
([σ], z) den Endpunkt des nach Wahl des Basispunktes eindeutig gelifteten
Weges zuordnet) und g·ρ([σ] −1 ) das Produkt in der Gruppe G. Dies definiert
tatsächlich eine Linksoperation:
Wir setzen
[σ][τ](z× g)=[σ·τ]·(z× g).
Y := (˜X×G)/π 1 (X, x).
G operiert auf der zweiten Komponente von links:
h.(z× g)↦→ z×(h· g).
Insgesamt haben wir also eine Operation vonπ 1 (X, x)×G auf˜X× G. Deren
Quotient ist:
(˜X×G)/(π 1 (X, x)×G)≈˜X/π 1 (X, x)≈X.
Also ist Y→X≈Y/G eine G-Überlagerung.
Sei umgekehrt p: Y→X=Y/G, y↦→ x eine G-Überlagerung. Pfadliftung
liefertρ∈Hom(π 1 (X, x), G), der für jedes [σ]∈π 1 (X, x) definiert ist durch:
[σ].y = ρ([σ]).y ∈ G.y. Wir müssen nun noch zeigen, dass die gegebene
G-Überlagerung isomorph ist zu der Überlagerung, die wir vonρaus bekommen:|—
siehe dazu beispielsweise die oben angegebene Literatur. —| ⊓⊔ —
Wir werden den Satz von Seifert – van Kampen nur unter der zusätzlichen
Annahme beweisen, dass U, V, U∩V eine universelle Überlagerung besitzen,
also zusammenhängend und semilokal einfach zusammenhängend sind. Dazu
werden wir die obige bijektive Beziehung zwischen G-Überlagerungen
von X und Homomorphismen vonπ 1 (X, x) nach G benutzen.
Beweis (von Satz 1.69 (Seifert – van Kampen)). Wir interpretierenπ 1 (X, x)→G
als eine geeignete Überlagerung.
Seien h 1 , h 2 gegeben. Wir müssen h konstruieren:
Als Übung!
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— Version vom: 26. September 2007 —