Oliver Labs Frank-Olaf Schreyer Algebraische Topologie - Mathematik

2.2 Erinnerung: Abelsche Gruppen 57
3. Jede endliche direkte Summe von endlich erzeugten abelschen Gruppen
ist endlich erzeugt.
Wir werden im weiteren Verlauf der Vorlesung sehen, dass viele Homologiegruppen
interessanter topologischer Räume endlich erzeugte abelsche Gruppen
sind. Wir geben daher noch einige weitere Begriffe und Sätze, um deren
Struktur ein wenig besser kennenzulernen.
Definition 2.20. Sei A eine abelsche Gruppe. a∈A heißt Torsionselement von
A, wenn es eine positive ganze Zahl m∈Z >0 gibt mit ma=0. Die Menge A t der
Torsionselemente von A ist eine Untergruppe von A und heißt Torsionsuntergruppe
von A. Eine abelsche Gruppe A heißt torsionsfrei, wenn das neutrale Element das
einzige Torsionselement von A ist.
Der Beweis der folgenden Aussage ist trivial:
Proposition 2.21. A t ist eine Untergruppe von A und für jede abelsche Gruppe A
ist die Faktorgruppe A/A t torsionsfrei.
Nicht trivial sind allerdings die folgenden Sätze (für Beweise s. beispielsweise
[May89, S. 111ff]).
Satz 2.22. Ist A eine freie abelsche Gruppe von endlichem Rang und C eine Untergruppe
von A, so ist C eine freie Gruppe von endlichem Rang und rang C≤rang A.
Satz 2.23. Ist A eine torsionsfreie, endlich erzeugte abelsche Gruppe, so ist A frei
und A besitzt endlichen Rang.
Definition 2.24. Ist A eine endlich erzeugte abelsche Gruppe, so definieren wir den
Rang von A durch rang A := rang(A/A t ):
A=Z rang A ⊕ A t .
Der Rang abelscher Gruppen verhält sich ähnlich wie die Dimension von
Vektorräumen:
Satz 2.25. Ist A eine endlich erzeugte abelsche Gruppe und B⊂A eine Untergruppe,
so sind B und A/B endlich erzeugt und es gilt
rang A=rang B+rang A/B.
⊓⊔
Beweis. [May89, Satz III.1.26, S. 112]
⊓⊔
Zusammen mit dem Klassifikationssatz der endlichen abelschen Gruppen
lässt sich die Klassifikation der endlich erzeugten abelschen Gruppen sehr
griffig formulieren:
— Version vom: 26. September 2007 —