Oliver Labs Frank-Olaf Schreyer Algebraische Topologie - Mathematik

2.7 Zur Klassifikation der kompakten orientierbaren Flächen 85
Abbildung 2.15. Orientierbarkeit einer Fläche.
Abbildung 2.16. Flächen vom Geschlecht 1, 1, 2.
Beweis (nur Beweisidee, siehe Kapitel 17 von [Ful95] für einen sehr anschaulichen
Beweis). Man kann zeigen, dass sich eine solche Fläche (außer einer Sphäre)
als ebenes Polygon mit 4g Seiten, bei dem jeweils 4 nebeneinander liegende
Seiten nach dem Schemaαβα −1 β −1 identifiziert werden, darstellen lässt.
Genauer kann man das Polygon sogar auf die Normalform bringen, die in
Abbildung 2.17 zu sehen ist.
⊓⊔
β −1
2
α 3
α −1
2
β 2
α 2
β −1
1
β 3
α −1
3
β −1
3
α 1
α −1
1
β 1
Abbildung 2.17. Die Normalform eines Polygons, aus dem eine kompakte orientierbare
Fläche durch Identifizierung der Seitenα i undβ i entsteht.
Beispiel/Definition 2.84 (Geschlecht einer ebenen algebraischen Kurve).
Die komplexe Nullstellenmenge einer (glatten) algebraischen Kurve (ggf.
— Version vom: 26. September 2007 —