Oliver Labs Frank-Olaf Schreyer Algebraische Topologie - Mathematik

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20 1 Die Fundamentalgruppe Beispiel 1.15. Bsp. 1.13). 1.R n ist also auf jeden seiner Punkte zusammenziehbar (siehe 2. Die Einheits–Sphäre S n−1 ist ein starker Deformationsretrakt vonR n \{0}: Die Inklusion i: S n−1 →R n \{0} ist definiert duch i(x)=x. Für die Abbildung r:R n \{0}→S n−1 , definiert durch r(x)= x ‖x‖ , gilt: r◦i=id S n−1. Wir definieren eine Homotopie F von i◦r zur Identität id R n \{0} durch: F(x, t)=(1−t) x ‖x‖ + tx für alle x∈Rn \{0} und alle t∈[0, 1]. Diese lässt offenbar die Sphäre S n−1 punktweise fest. ⊓⊔ 1.2 Die Fundamentalgruppe des Kreises Wir haben eben unsere erste Fundamentalgruppe ausgerechnet. Im Allgemeinen ist dies nicht so einfach. In den folgenden Abschnitten stellen wir Hilfsmittel bereit, um Fundamentalgruppen auszurechnen. Einige der wesentlichen Ideen, die wir dabei verwenden werden, tauchen bereits bei der Berechnung der Fundamentalgruppe des Einheitskreises auf. Außerdem hat deren Berechnung einige interessante Anwendungen. Daher nehmen wir uns die Zeit, dieses Beispiel zu betrachten, obwohl wir das Resultat später als einfache Folgerung allgemeiner Sätze erhalten werden. In diesem Abschnitt folgen wir der Darstellung in [May89, II.§3]. 1.2.1 Berechnung der Fundamentalgruppe Satz 1.16.π 1 (S 1 , 1)Z. Diese Aussage ist keineswegs trivial. Wir machen zunächst einige Vorbemerkungen und behandeln dann zwei Hilfssätze, die wir für den Beweis des Satzes benötigen. Wir betrachten die Abbildung: Φ:R→S 1 ,Φ(t)=e 2πit . Als aus der Analysis bekannt setzen wir voraus, dass dies ein stetiger surjektiver Gruppenhomomorphismus von (R,+) auf (S 1 ,·) mit KerΦ=Zist und dass für jedes a∈Rdie EinschränkungΦ| ]a,a+1[ ein Homöomorphismus von ]a, a+1[ auf S 1 \{Φ(a)} ist. Mit Ψ : S 1 \{−1} → ]− 1 2 , 1 2 [ bezeichnen wir die Umkehrabbildung vonΦ| ]− 1 2 , 1 2 [. — Version vom: 26. September 2007 —
1.2 Die Fundamentalgruppe des Kreises 21 Ferner setzen wir als aus der Analysis bekannt voraus (s. auch [May89]), dass eine stetige Abbildung f : X→Y zwischen metrischen Räumen mit Metriken d bzw. e gleichmäßig stetig ist, falls ihr Definitionsbereich X kompakt ist. f heißt dabei gleichmäßig stetig, falls es zu jedemε>0 einδ>0gibt, so dass für alle x, y∈X mit d(x, y)
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2.5 Das Ausschneidungsaxiom 77 Abbi
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2.5 Das Ausschneidungsaxiom 79 Der
Seite 87 und 88:
2.6 Zusammenhang simpliziale/singul
Seite 89 und 90:
2.6 Zusammenhang simpliziale/singul
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2.7 Zur Klassifikation der kompakte
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Literatur Ful95. W. Fulton, Algebra
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90 Index Einheitssphäre 6 elliptis
Seite 98:
92 Index Vergissfunktor 53 verknüp
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