Oliver Labs Frank-Olaf Schreyer Algebraische Topologie - Mathematik

2.6 Zusammenhang simpliziale/singuläre Homologie 83
Schließlich können wir den Satz 2.74 vom Anfang des Abschnittes beweisen:
Beweis (von Satz 2.74). Wir gehen per Induktion nach der Anzahl der Simplizes
vor. Für|K|={p} ein Punkt ist die Behauptung wahr nach dem Dimensionsaxiom
(Satz 2.46):
H 0 ({p})=H 0 (K)=Z
und alle anderen Gruppen sind null.
Für den Induktionsschritt betrachten wir K und L = K\{∆}, wobei∆ein
maximaler Simplex ist. Die lange exakte Sequenz der Paare gibt zusammen
mit dem Korollar 2.79 und der Induktionsvoraussetzung, die sich ja auf L
anwenden lässt:
H p+1 (K, L)
H p (L)
H p (K)
H p (K, L)
H p−1 (L)
H p+1 (|K|,|L|) H p (|L|) H p (|K|) H p (|K|,|L|) H p−1 (|L|).
Das Fünfer-Lemma (2.17) liefert nun: H p (K)H p (|K|).
⊓⊔
Damit haben wir endlich den Satz 2.35 über die Unabhängigkeit der Homologie
von der Wahl der Triangulierung bewiesen, mit Hilfe dessen wir in 2.36
erst die Eulerzahl definieren und berechnen konnten.
Das eben Gezeigte können wir auch noch etwas allgemeiner hinschreiben:
Korollar 2.80. Sei K ein simplizialer Komplex, L ein Unterkomplex. Dann gilt:
H p (K, L) → H p (|K|,|L|).
Beweis. Dies folgt ebenfalls aus dem Fünfer-Lemma. Das folgende Diagramm
H p (L)
H p (K)
H p (K, L)
H p−1 (L)
H p−1 (K)
H p (|L|) H p (|K|) H p (|K|,|L|) H p−1 (|L|) H p−1 (|K|).
kommutiert nämlich.
⊓⊔
Bemerkung/Definition 2.81. Für ein triangulierbares Paar (X, A) haben wir gesehen,
dass
H n (X, A)H n (|K|,|L|) H n (K, L),
falls X≈|K| , A≈|L|. Für den Nachweis haben wir lediglich die Sätze
ES 1: Homotopieaxiom: Satz 2.48
— Version vom: 26. September 2007 —