Oliver Labs Frank-Olaf Schreyer Algebraische Topologie - Mathematik

0.3 Zusammenhang und Wegzusammenhang 11
Abbildung 0.5. Ein nicht wegzusammenhängender Raum: Ist X die abgebildete Menge
(der Graph vonR→R, x↦→ sin 1 x ), so ist X=X∪{(0, y)∈R2 |−1≤ y≤1} zwar
zusammenhängend, aber nicht wegzusammenhängend.
X=X∪{(0, y)∈R 2 |−1≤ y≤1}.
X ist nach Satz 0.17 auch zusammenhängend, weil X es ist.
Wir zeigen nun, dass X aber nicht wegzusammenhängend ist. Wir nehmen
dazu an, dass es einen Weg c: [0, 1]→X gibt mit c(0)=(0, 0) und c(1)=( 1 π , 0).
Diese Abbildung c ist also stetig; das ist aber genau dann der Fall, wenn
p 1 ◦ c und p 2 ◦ c beide stetig sind, wobei p i die ProjektionR 2 →R auf die
i-te Koordinate bezeichnet. p 1 ◦ c nimmt wegen des Zwischenwertsatzes 0.19
alle Werte zwischen 0 und 1 π an, also insbesondere auch die Werte 2
(2n+1)π
für n=2, 3,.... Daher nimmt p 2 ◦ c die Werte sin (2n+1)π
2
und somit in jeder
Umgebung von 0 die Werte+1 und−1 an. Es gibt also keinδ>0, so dass
[0,δ[ durch p 2 ◦ c ganz in ]− 1 2 , 1 2
[ abgebildet wird. Alle offenen Umgebungen
von 0 in [0, 1] haben aber die Form [0,δ[. Damit ist c nach Definition in 0 nicht
stetig und X nicht wegweise zusammenhängend. ⊓⊔
Häufig sind in der algebraischen Topologie solche feinen Unterschiede sehr
relevant, beispielsweise bei der Frage der Existenz einer universellen Überlagerung
(Satz 1.68 auf Seite 43).
— Version vom: 26. September 2007 —