Oliver Labs Frank-Olaf Schreyer Algebraische Topologie - Mathematik

72 2 Homologie
X 1 ∩ X 2
X
X 1 X 2
Abbildung 2.10. Die Situation bei der zweiten Formulierung des Ausschneidungsaxioms.
Beweis. Wir setzen: A=X 2 , U = X\X 1 . Dann gilt: U = X\ X ◦
1 ⊂ X ◦
2 = A.
◦
Ferner ist: A\U=X 1 ∩ X 2 , X\U=X 1 . Damit ist die Äquivalenz der beiden
Formulierungen des Ausschneidungsaxioms offensichtlich. ⊓⊔
2.5.1 Anwendungen des Ausschneidungsaxioms
Die zweite Version des Ausschneidungsaxioms ist äquivalent zur ersten. Eine
wichtige Anwendung dieser Sätze ist die Existenz der sogenannten Mayer-
Vietoris-Sequenz, mit Hilfe derer wir viele Homologiegruppen ausrechnen
können, analog zum Satz von Seifert – van Kampen für die Fundamentalgruppen.
Dafür benötigen wir das folgende Lemma:
Lemma 2.57. Gegeben sei ein Diagramm
i
··· n k
A n
n m
B n
n i
C n
n−1
A n−1
···
··· A ′ n
f n
j n
B ′ n
g n
l n
C ′ n
h n
f n−1
A ′ n−1
j n−1
···
mit exakten Zeilen, bei dem h n ein Isomorphismus ist. Dann gibt es eine exakte
Sequenz
···→A n
(i n , f n )
→ B n ⊕ A ′ n
−
→ B ′ n
D
→ A n−1 →···,
wobei D definiert ist durch m n ◦ h −1
n ◦ l n und die Abbildung−: B n ⊕ A ′ n→ B ′ n durch
(b, a)↦→ g n (b)− j n (a).
Beweis. Diagrammjagd.
Damit können wir ein Analogon zum Satz von Seifert – van Kampen für die
Homologiegruppen zeigen:
Satz 2.58 (Mayer-Vietoris-Sequenz). Seien X 1 , X 2 ⊂ X mit X= X ◦
1 ∪ X ◦
2 . Dann
gibt es eine lange exakte Sequenz:
···→H n (X 1 ∩ X 2 ) (i 1∗,i 2∗ )
→ H n (X 1 )⊕H n (X 2 ) j 1∗−j 2∗
→ H n (X) D → H n−1 (X 1 ∩ X 2 )→···.
⊓⊔
— Version vom: 26. September 2007 —