Oliver Labs Frank-Olaf Schreyer Algebraische Topologie - Mathematik

18 1 Die Fundamentalgruppe
Innerhalb einer Wegzusammenhangskomponente können wir den Basispunkt
frei wählen, wie das folgende Resultat zeigt:
Satz/Definition 1.9. 1. Sind x 0 , x 1 ∈ X Punkte in der gleichen Wegzusammenhangskomponente
und istγ: [0, 1]→Xein Weg von x 0 nach x 1 , dann liefert
π 1 (γ):π 1 (X, x 0 )→π 1 (X, x 1 ), [α]↦→ [γ −1 ∗α∗γ]
einen Gruppenisomorphimus. Dieser hängt nur von [γ] ab.
2. Istδ: [0, 1]→ X ein weiterer Weg von x 0 nach x 1 , dann istπ 1 (δ) ein weiterer
Isomorphismus, der sich vonπ 1 (γ) nur durch die Konjugation mitβ=[γ −1 ∗δ]
unterscheidet:
π 1 (δ)[α]=[γ −1 ∗δ] −1 (π 1 (γ)[α])[γ −1 ∗δ].
Beweis. 1.π 1 (γ) ist ein Gruppenhomomorphismus, daγ∗γ −1 ∼ε x0 und
wegen der Assoziativität:π 1 (γ)([α]∗[β])=[γ −1 ∗α∗β∗γ]=[γ −1 ∗α∗
γ∗γ −1 ∗β∗γ]=[γ −1 ∗α∗γ]∗[γ −1 ∗β∗γ]=π 1 (γ)[α]∗π 1 (γ)[β]. Es ist ein
Isomorphismus, weilπ 1 (γ) −1 =π 1 (γ −1 ).
2. Klar wegen Assoziativität.
Definition 1.10. Zwei stetige Abbildungen f 0 , f 1 : X → Y heißen homotop, in
Zeichen f 0 ≃ f 1 , falls es eine stetige Abbildung, genannt Homotopie, H : X×
[0, 1]→Ygibt, so dass
H(x, 0)= f 0 (x), H(x, 1)= f 1 (x)∀x∈X.
Sei x 0 ∈ X ein Basispunkt. Wir setzen y 0 = f 0 (x 0 ), y 1 = f 1 (x 0 ). Mit
bezeichnen wir den Weg von y 0 nach y 1 .
τ: [0, 1]→ Y, t↦→ H(x 0 , t)
Satz/Definition 1.11. Mit der Notation aus der vorigen Definition gilt, dass das
folgende Diagramm kommutiert:
π 1 (Y, y 0 )
f 0∗
π 1 (X, x 0 ) π 1 (τ)
⊓⊔
f 1∗
π 1 (Y, y 1 )
d.h.: f 1∗ ([α])=(π 1 (τ))( f 0∗ ([α]))∀[α]∈π 1 (X, x 0 ).
— Version vom: 26. September 2007 —