Oliver Labs Frank-Olaf Schreyer Algebraische Topologie - Mathematik

1.5 Der Satz von Seifert – van Kampen 47
Satz 1.74. Die Fundamentalgruppe der∞-Figur ist eine freie Gruppe, erzeugt von
zwei Elementen.
Beweis. Wir schreiben∞=U∪V mitπ 1 (U,∗)=π 1 (V,∗)≃Z, erzeugt von
a=[γ 1 ] bzw. b=[γ 2 ], die jeweils einmal um den jeweiligen Kreis laufen.
U
V
U∩ V
γ 2
γ 1
Abbildung 1.20. Die Fundamentalgruppe der∞-Figur.
Einen Gruppenhomomorphismusπ 1 (X, x)→Ganzugeben, ist gleichwertig
damit, zwei Elemente g 1 , g 2 ∈ G anzugeben: nach dem Satz 1.69 von Seifert
– van Kampen gibt es nämlich einen eindeutigen Homomorphimus von
π 1 (X, x)→ G, der [γ 1 ] auf g 1 und [γ 2 ] auf g 2 abbildet, da die beiden Homomorphismenπ
1 (U,∗)→G undπ 1 (V,∗)→G durch die Bilder von [γ 1 ] bzw. [γ 2 ]
festgelegt sind. Dadurch ist dann auch das Bild von a m 0
b m1···bm r
festgelegt.
Es ist also
π 1 (∞,∗)={a m 0
b m1···b m r
|∃r : m i ∈Z, m i 0, außer vielleicht m 0 , m r }
die freie Gruppe auf zwei Elementen.
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Korollar 1.75. Die Fundamentalgruppe der Vereinigung von n Schleifen ist die freie
Gruppe erzeugt von n Elementen g 1 ,..., g n .
Beispiel 1.76. Sei G ein zusammenhängender Graph.
1. G ist homotop zum Graph G ′ , wenn dieser durch Zusammenziehen einer
Kante zwischen zwei Ecken entsteht.
2. Wir schreiben: e= Anzahl der Ecken, k= Anzahl der Kanten. Dann gilt:
π 1 (G,∗)= freie Gruppe mit k−e+1 Erzeugern,
da G ′ , wie oben gesehen, homotop zu einer Vereinigung von k−e+1
Schleifen ist, wie in Korollar 1.75.
Als amüsante Folgerung aus der Überlagerungstheorie erhalten wir das nichttriviale
Resultat, dass eine Untergruppe einer freien Gruppe von endlichem
Index wiederum frei ist:
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— Version vom: 26. September 2007 —