Oliver Labs Frank-Olaf Schreyer Algebraische Topologie - Mathematik

1.4 Decktransformationen und Universelle Überlagerung 37
Satz 1.53. Sei p: Y→X eine Überlagerung und sei f : Z→X stetig mit Z zusammenhängend
und lokal wegzusammenhängend. Sei x∈X, y∈Y, z∈Z mit
f (z)=x=p(y). Es existiert eine Liftung˜f : Z→Y mit˜f (z)= y genau dann, wenn
Also:
f ∗ (π 1 (Z, z))⊂p ∗ (π 1 (Y, y)).
Z
Y
˜f
X
f
p
⇐⇒
π 1 (Y, y)
p ∗
π 1 (Z, z) π 1 (X, x)
f ∗
Wenn die Liftung existiert, ist sie eindeutig.
Beweis. Die Notwendigkeit ist klar, da f ∗ = p ∗ ◦ ˜ f ∗ . Die Eindeutigkeit folgt aus
der Eindeutigkeit der Liftung (1.29).
Für die Umkehrung notieren wir zunächst, dass mit der obigen Bemerkung
Z wegzusammenhängend ist. Seien nun w, z∈Z. Um f ˜ (w) zu definieren,
wählen wir einen Wegγvon z nach w und betrachten den Weg f◦γ in X. Dann
sei f ˜ (w) der Endpunkt des eindeutigen Weges, den wir durch Pfadliftung von
f◦γ mit Anfangspunkt y erhalten. Wir müssen zeigen, dass f ˜ (w) unabhängig
von der Wahl vonγist.|— Sei dazuγ ′ ein weiterer Weg von z nach w. Dann —
istγ ′ ∗γ −1 ein geschlossener Weg und [ f◦ (γ ′ ∗γ −1 )] ist nach Voraussetzung Als Übung!
im Bild p ∗ (π 1 (Y, y)). Nach Satz 1.35 über die Eindeutigkeit des Endpunktes
ist der Endpunkt unabhängig von der Wahl des Weges. Also haben wir eine
wohldefinierte Abbildung
Y
f˜
p
Z X
f
—| —
Es bleibt noch zu zeigen, dass f ˜ stetig ist.|— Dazu betrachten wir eine —
Überlagerungsumgebung N⊂Xvon f (w) und eine wegzusammenhängende
Als Übung!
Umgebung U von w in f −1 (N)⊂Z (diese gibt es, da Z lokal wegzusam-
menhängend ist!). Wir können jeden Punkt u∈Uvermögeσin U mit w und
vermögeγschließlich mit z verbinden:γ∗σ. Dies geliftet bleibt in der Komponente
V⊂ p −1 (N)⊂Y mit f ˜ (w)∈V, also w∈U⊂ f ˜−1
(V). f ˜ ist also stetig in
w, da die Überlagerungsumgebung N und damit auch die Umgebung V von
f ˜(w) beliebig gewählt war. —| ⊓⊔ —
Korollar 1.54. Seien p: Y→X, p ′ : Y ′ → X Überlagerungen mit Y, Y ′ zusammenhängend
und X lokal wegzusammenhängend. Seien y ∈ Y, y ′ ∈ Y ′ Punkte
— Version vom: 26. September 2007 —