Oliver Labs Frank-Olaf Schreyer Algebraische Topologie - Mathematik

1.4 Decktransformationen und Universelle Überlagerung 39
Istγ ′ ein weiterer Weg, dann sindα∗(p◦γ) undα∗(p◦γ ′ ) zwei Wege in X
und nach Satz 1.35 sind die Endpunkte der Liftung gleich genau dann, wenn:
[α∗(p◦γ ′ )∗(α∗(p◦γ)) −1 ]∈p ∗ π 1 (Y, y).
Dies zeigen wir folgendermaßen. Es gilt: [α∗(p◦γ ′ )∗(α∗(p◦γ)) −1 ]=[α∗(p◦
γ ′ )∗(p◦γ) −1 ∗α −1 ]=[α]∗p ∗ [γ ′ ∗γ −1 ]∗[α −1 ]. Da aber [γ ′ ∗γ −1 ]∈π 1 (Y, y), ist
genau dann das konjugierte Element [α]∗p ∗ [γ ′ ∗γ −1 ]∗[α −1 ]∈p ∗ (π 1 (Y, y))∀[α]
und∀γ,γ ′ , wenn p ∗ (π 1 (Y, y)) ein Normalteiler ist.
Insgesamt haben wir somit bewiesen: w(α,γ) hängt nur von [α] und z ab. Dies
gibt uns eine Operation
π 1 (X, x)×Y→Y, ([α], z)↦→ [α].z := w(α,γ).
Ein Element [α]∈π 1 (X, x) operiert nach Definition von p ∗ und von w genau
dann trivial, wenn [α]∈p ∗ (π 1 (Y, y)). Also erhalten wir einen injektiven Gruppenhomomorphismus
der Quotientengruppe G :=π 1 (X, x)/p ∗ (π 1 (Y, y)) nach
Deck(Y/X):
G→Deck(Y/X).
Die Abbildung ist surjektiv, da Y wegzusammenhängend ist: Sei nämlich
ϕ∈Deck(Y/X). Das Bild eines Weges von y nach y ′ :=ϕ(y)∈p −1 (x) ist dann
geschlossen in X und das entsprechende Element erfüllt [α].y= y ′ =ϕ(y).
Wie im Beweis zu Satz 1.46 folgt nun wegen der Eindeutigkeit der Liftung,
dass diesϕschon festlegt. 1
Dies zeigt auch, dass Deck(Y/X) transitiv auf den Fasern p −1 (x) operiert. Es
gilt also:
X≈Y/ Deck(Y/X)
nach Satz 1.48.
Der obige Beweis hat gezeigt:
Korollar 1.57. Seien p: Y→X eine Überlagerung, Y zusammenhängend und X
lokal wegzusammenhängend, y∈Y und x=p(y). Deck(Y/X) operiert transitiv auf
den Fasern p −1 (x), x∈X, genau dann, wenn p ∗ (π 1 (Y, y))⊂π 1 (X, x) ein Normalteiler
ist.
Definition 1.58. Ein topologischer Raum X heißt einfach zusammenhängend,
falls er wegzusammenhängend ist undπ 1 (X)=1 gilt.
⊓⊔
1 Alternativ hätten wir auch sehen können, dass G lokal einfach operiert, da G
vermöge des injektiven Gruppenhomomorphismus isomorph zu einer Untergruppe
von Deck(Y/X) ist. Dann Satz 1.46 anwenden.
— Version vom: 26. September 2007 —