Oliver Labs Frank-Olaf Schreyer Algebraische Topologie - Mathematik

10 0 Einführung
Tatsächlich muss, wie oben schon erwähnt, ein zusammenhängender Raum
nicht wegzusammenhängend sein. Dies zeigt das weiter unten stehende Beispiel.
Für dessen Verständnis benötigen wir zunächst aber noch ein paar
Eigenschaften zusammenhängender Räume:
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Als Übung!
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Als Übung!
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Satz 0.17. Seien X ein topologischer Raum und A, B⊂X mit A⊂B⊂A. Ist A
zusammenhängend, so auch B.
Beweis. |— Angenommen, B ist nicht zusammenhängend. Dann gibt es U, V⊂
X offen mit U∩ B∅, V∩ B∅, (U∩ B)∪(V∩ B)=B und (U∩ B)∩(V∩ B)=.
Da A⊂B ist (U∩A)∪(V∩A)=A und (U∩A)∩(V∩A)=∅. Weil B⊂A
ist aber A∩U∅und A∩V∅. Dann ist A aber nicht zusammenhängend.
—| ⊓⊔
Satz 0.18. Gegeben sei eine stetige Abbildung f : X→Y zwischen zwei topologischen
Räumen. Ist X zusammenhängend, so auch f (X).
Beweis. |— Wäre f (X) nicht zusammenhängend, so gäbe es nach Satz 0.14eine
stetige Surjektion g: f (X)→Z auf einen diskreten Raum Z, der wenigstens
zwei Elemente enthält. Da g◦ f : X→Z ebenfalls stetig und surjektiv wäre,
wäre X nicht zusammenhängend. —| ⊓⊔
Mit dem bisher Gezeigten können wir nun den aus der Analysis in ähnlicher
Form bekannten Zwischenwertsatz beweisen:
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Als Übung!
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Satz 0.19 (Zwischenwertsatz). X sei ein topologischer Raum und f : X→R sei
eine stetige Abbildung. Ferner seien a, b∈ f (X) mit a0, y=sin 1 x}
⊂R 2 .
Es gilt: X= f (]0,∞[) mit f : ]0,∞[, x↦→ (x, sin 1 x
). X ist also stetiges Bild einer
zusammenhängenden Menge und daher nach Satz 0.18 selbst zusammenhängend.
Die abgeschlossene Hülle X von X inR 2 ist die Vereinigung von X mit
dem Intervall{(0, y)|−1≤ y≤1}:
— Version vom: 26. September 2007 —