Oliver Labs Frank-Olaf Schreyer Algebraische Topologie - Mathematik

1.5 Der Satz von Seifert – van Kampen 45
gewisser Teilräume kennt. Da der Beweis etwas lang und technisch ist, geben
wir zunächst die präzise Formulierung und Anwendungen des Satzes, bevor
wir ihn anschließend — allerdings nur unter der Zusatzvoraussetzung, dass
eine universelle Überlagerung existiert — beweisen.
Satz 1.69 (Seifert – van Kampen). Sei X=U∪V die Vereinigung von zwei
offenen Teilmengen. U, V und U∩V seien wegzusammenhängend, x∈U∩V. Dann
hat die Fundamentalgruppeπ 1 (X, x) folgende Eigenschaft:
π 1 (U, x)
i 1
h 1
j
1
h
π 1 (U∩V, x) π 1 (X, x)
G
j 2
i 2
h
2
π 1 (V, x)
Für jedes Paar h 1 :π 1 (U, x)→G, h 2 :π 1 (V, x)→G von Gruppenhomomorphismen,
so dass h 1 ◦ i 1 = h 2 ◦ i 2 existiert genau ein h:π 1 (X, x)→G, so dass h i = h◦ j i ,
i=1, 2.
Wie schon oben bemerkt, werden wir diesen Satz nur unter der zusätzlichen
Voraussetzung der Existenz einer universellen Überlagerung beweisen. Doch
zunächst einige Anwendungen dieses Satzes.
1.5.1 Anwendungen
Mit Hilfe des Satzes von Seitert – van Kampen können wir nun endlich
einige der Resultate beweisen, die von Beginn an anschaulich einleuchtend
erschienen. Wir beginnen mit der Fundamentalgruppe der n-Sphären.
Satz 1.70. Es gilt:
π 1 (S n ,∗)=0für n≥2.
Beweis. Um den Satz 1.69 von Seifert – van Kampen anwenden zu können,
müssen wir geeignete offene Mengen U und V finden mit S n = U∪V. Wir
setzen (s. Abb. 1.19:
{
U= S n ∩ x n >− 1 } {
, V=S n ∩ x n < 1 }
.
2
2
Dann sind U und V homöomorph zu einem offenen Ball und U∩V≈S n−1 ×
[0, 1]. Die Menge U∩V ist also wegzusammenhängend, da n≥2. Sei x∈U∩V.
— Version vom: 26. September 2007 —