Oliver Labs Frank-Olaf Schreyer Algebraische Topologie - Mathematik

2.5 Das Ausschneidungsaxiom 73
Beweis. Wir möchten das Lemma auf die beiden langen exakten Homologiesequenzen
zu den Paaren
···→H n (A)→H n (X)→H n (X, A)→H n−1 (A)→···
(X 1 ∩ X 2 ,∅)
(X 1 ,∅)
(X 1 , X 1 ∩ X 2 )
(X 2 ,∅) (X,∅) (X, X 2 )
h
anwenden:
···H n (X 1 ∩ X 2 )
H n (X 1 )
H n (X 1 , X 1 ∩ X 2 )
H n−1 (X 1 ∩ X 2 )···
H n (i)
H n (j)
h n
H n−1 (i)
···H n (X 2 ) H n (X) H n (X, X 2 ) H n−1 (X)···
Die zweite Version des Ausschneidungsaxioms (Satz 2.56) zeigt, dass die
h n Isomorphismen sind. Das Lemma liefert dann die Existenz der exakten
Sequenz.
⊓⊔
Einen ausführlichen Schritt-für-Schritt-Beweis für die Existenz der Mayer-
Vietoris-Sequenz liefert Fulton [Ful95, S. 140ff]. Mit dem Satz können wir
nun die Homologiegruppen der n-Sphären berechnen:
Satz 2.59 (Homologie der n-Sphäre). Sei S n , n>1, die n-Sphäre. Dann gilt:
{
Z, p=0 oder n,
H p (S n )
0, sonst.
Beweis. Die Aussage über H 0 (S n ) kennen wir bereits (Satz 2.47).
Wir betrachten nun, wie bei der Berechnung der Fundamentalgruppe der
Sphären in Satz 1.70, die Mengen X 1 = S n ∩{x n ≥− 1 2 }, X 2= S n ∩{x n ≤ 1 2 } (s.
Abb. 2.11). Dann: X 1 ∩ X 2 ≃ S n−1 homotop und X 1 ≃ X 2 ≃ D n .
Die Mayer-Vietoris-Sequenz liefert für p≥2:
also:
H p (X 1 )⊕H p (X 2 )=0→H p (S n )→H p−1 (S n−1 )→0=H p−1 (X 1 )⊕H p−1 (X 2 ),
H p (S n )H p−1 (S n−1 ).
Per Induktion folgt also die Behauptung; wir müssen nur noch den Fall p=1
klären. H 1 (S n )=0für n≥2folgt mit der exakten Sequenz:
···→H 1 (X 1 )⊕H 1 (X 2 )
}{{}
0
→ H 1 (X)→H 0 (X 1 ∩ X 2 )
}{{}
Z
→ H 0 (X 1 )⊕H 0 (X 2 )
}{{}
Z⊕Z
→ 0.
⊓⊔
— Version vom: 26. September 2007 —