Oliver Labs Frank-Olaf Schreyer Algebraische Topologie - Mathematik

22 1 Die Fundamentalgruppe
˜c(1) eine ganze Zahl und diese ganze Zahl ist nach dem Lemma eindeutig
bestimmt.
Das folgende Lemma sagt nun, dass sich jede Homotopie von Wegen in
S 1 rel{0, 1} auf genau eine Weise zu einer Homotopie rel{0, 1} der angehobenen
Wege hochheben lässt. Insbesondere hängt der Endpunkt des hochgehobenen
Weges nur von der Homotopieklasse rel{0, 1} des ursprünglichen
Weges ab. Der Beweis dieses Lemmas ist analog zum eben durchgeführten;
er findet sich beispielsweise in [May89, Hilfssatz II.3.3, S. 84].
Lemma 1.18. c, d: [0, 1]→S 1 seien Wege mit c(0)=d(0)=1 und c≃d rel{0, 1}
vermöge einer Homotopie H : [0, 1]×[0, 1]→ S 1 . Dann gibt es genau eine Abbildung
˜H : [0, 1]× [0, 1]→R mitΦ◦˜H=Hund˜H ist eine Homotopie rel{0, 1} von ˜c
nach d. ˜
Endlich können wir die Fundamentalgruppe des Kreises bestimmen:
Beweis (von Satz 1.16). Wir geben einen Isomorphismusχ:π 1 (S 1 , 1)→Z an:
χ([c])= ˜c(1). Diese Abbildung ist nach den beiden Lemmata wohldefiniert.
Wir zeigen, dass sie ein Homomorphismus ist, der surjektiv und injektiv ist.
χ ist ein Homomorphismus: Es seien c, d geschlossene Wege in S 1 mit Anfangspunkt
1. Dann ist:
˜c∗d= ˜c∗(˜c(1)+ ˜ d), (1.1)
dennΦ◦˜c∗d=c∗d undΦ◦ ˜c∗(˜c(1)+ ˜d)=c∗d. Die letzte Gleichheit sieht
man dabei folgendermaßen: Für alle t∈[0, 1] gilt:
{
Φ◦ ˜c∗(˜c(1)+ d)(t)= ˜ Φ(˜c(2t))=c(2t), t∈[0,
1
2 ],
Φ(˜c(1)+ d(2t−1)), ˜
t∈[ 1 2 , 1].
Für t∈[ 1 2
, 1] ist aberΦ(˜c(1)+ d(2t−1))=1·Φ( ˜
d(2t−1))=d(2t−1). ˜
Daher
gilt (1.1), da die Anhebung eindeutig ist nach den Lemmata. Somit folgt:
˜c∗d(1)= ˜c(1)+ d(1) ˜ und schließlich:
χ([c][d])=χ([c])+χ([d]).
χ ist surjektiv: Für m∈Z definieren wir c m : [0, 1]→S 1 durch c m (t)=Φ(mt).
Dann ist offenbarχ([c m ])=˜c m (1)=m und somitχsurjektiv.
χ ist injektiv: Wir zeigen, dass der Kern vonχtrivial ist: Es sei dazu c ein
geschlossener Weg in S 1 mit Anfangspunkt 1 undχ([c])= ˜c(1)=0. Dann
ist ˜c ein geschlossener Weg inR, ˜c(0)= ˜c(1)=0. InRist ˜c homotop zum
konstanten Weg 0 rel{0, 1} vermöge der Homotopie H(t, s)=(1−s)˜c(t).
Dann istΦ◦H eine Homotopie rel{0, 1} von c zum kontanten Wegε 1 und
[c]=[ε 1 ].
χ ist also ein Isomorphismus.
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— Version vom: 26. September 2007 —