Oliver Labs Frank-Olaf Schreyer Algebraische Topologie - Mathematik

78 2 Homologie
Satz 2.71. Es gilt:
(H n (a)=) H n (X,a)H n (X)∀n.
Beweis. Wir betrachten die Inklusion von Komplexen
(C•(a)=) C•(X,a)֒→ C•(X).
Es genügt zu zeigen:
1. Jeder Zykel z∈Z n (X) ist homolog zu einem Zykel ˜z∈Z n (a).
2. Sind z 1 , z 2 ∈ Z n (a)⊂Z n (X) homolog bzgl. B n (X), so gilt schon z− ˜z∈B n (a).
Problem:
Es fehlt noch etwas!
Wir haben leider nicht die Zeit, dies hier zu zeigen. Es ist etwa eine Seite
Detailarbeit. Hierbei wird auch wieder das Lemma von Lebesgue verwendet.
Relevant geht auch das Lemma 2.69 ein: es reicht nämlich für die erste
Behauptung zu zeigen, dass ein N existiert mit U N z∈Z n (a), weil nach dem
Lemma z und U N z in B n (X) homolog sind. ⊓⊔
Wir definieren nun:
Definition 2.72.
C•(X, A,a) :=
C•(X,a)
C•(A,a∩A) .
Für die entsprechenden Homologiegruppen gilt:
Korollar 2.73. Seiaeine Überdeckung von X mit ◦ a offene Überdeckung von X.
Dann gilt:
H n (X, A,a)H n (X, A)
vermöge der Inklusion C•(X, A,a)֒→ C•(X, A).
Beweis. Wir betrachten die langen exakten Sequenzen der Paare
H n (A,a)
H n (X,a)
H n (X, A,a)
H n−1 (A,a)
H n−1 (X,a)
H n (A) H n (X) H n (X, A) H n−1 (A) H n−1 (X).
Alle senkrechten Pfeile bis auf den mittleren sind Isomorphismen nach Satz
2.71. Nach dem Fünferlemma 2.17 ist somit auch der mittlere Pfeil ein Isomorphismus.
⊓⊔
— Version vom: 26. September 2007 —