Oliver Labs Frank-Olaf Schreyer Algebraische Topologie - Mathematik

36 1 Die Fundamentalgruppe
Beispiel 1.51. Sei (siehe Abb. 1.16)
X={(0, 1)+ t(x,−1)∈R 2 | 0≤t≤1, x=0 oder x= 1 n , n=1, 2,...}⊂R2 .
Dieser Unterraum vonR 2 ist wegzusammenhängend, aber nicht lokal wegzusammenhängend:
Mit der Notation
B n r (p) :={x∈Rn |‖x−p‖≤r}⊂R n
enthält beispielsweise nämlich die Umgebung
((0, 0)∩X keine zusammenhängende
offene Umgebung von (0, 0) in X.
◦
B 2 1
2
⊓⊔
1
(0, 1)+t( 1 3 ,−1)
(0, 1)+t( 1,−1)
2
(0, 1)+t(1,−1)
(0, 0)
1 1
4 3
1
2
1
Abbildung 1.16. Ein wegzusammenhängender nicht lokal wegzusammenhängender
Raum (siehe Beispiel 1.51).
—– 6. Vorlesung: Lokaler Wegzusammenhang ist eine lokale Eigenschaft. Solche werden aber
23. Mai ’07 —– von Überlagerungen respektiert; daher gilt:
—
Als Übung!
—
Bemerkung 1.52. Sei p: Y→X eine Überlagerung. Dann gilt: X lokal wegzusammenhängend
⇐⇒ Y lokal wegzusammenhängend.
Beweis. |— Wir zeigen hier nur die Rückrichtung, die andere ist ähnlich zu
beweisen. Sei also x∈Xund V⊂Xeine offene Umgebung von x. Ferner sei
N⊂Veine Überlagerungsumgebung von x. Sei y∈p −1 (x) und Z die Komponente
von p −1 (N), die y enthält. Die Voraussetzung liefert nun:∃W⊂Z
wegzusammenhängend mit y∈W. Es gilt: W≈ p(W)∋x, da p eine Überlagerung
ist. p(W) ist also eine wegzusammenhängende offene Umgebung von x
mit p(W)⊂V. —|
⊓⊔
Wir werden diese Bemerkung in der Formulierung folgender Sätze ständig
implizit verwenden. Oft fordern wir nämlich den lokalen Wegzusammenhang
eines Raumes X, der durch Y überlagert wird, da wir auf die Existenz
einer sogenannten universellen Überlagerung für ein gegebenes X hinarbeiten.
Wegen der Bemerkung ist dann natürlich auch Y lokal wegzusammenhängend,
auch wenn wir es nicht explizit fordern.
— Version vom: 26. September 2007 —