Oliver Labs Frank-Olaf Schreyer Algebraische Topologie - Mathematik

56 2 Homologie
2. Es gibt eine Homomorphismusψ: G→G ′ , so dassαein Linksinverses besitzt,
d.h.:ψ◦α=id G ′.
In diesem Fall sagt man, dass die kurze exakte Sequenz spaltet. Dann ist G isomorph
zu G ′ ⊕ G ′′ .
Beweis. Siehe [May89, S. 109].
⊓⊔
Satz 2.16. Wenn in der kurzen exakten Sequenz 0→G ′ α β
→ G→
G ′′ → 0 die
Gruppe G ′′ eine freie abelsche Gruppe ist, dann spaltet die Sequenz.
—
Als Übung!
—
Beweis. Wir wenden den Satz 2.10 über die universelle Eigenschaft der freien
abelschen Gruppen an:|— Sei B eine Basis von G ′′ . Für jedes b∈B wird ein
Element g b ∈ G gewählt mitβ(g b )=b. Nach der universellen Eigenschaft gibt
es genau einen Homomorphismusγ: G ′′ → G mitγ(b)= g b . Für diesen ist
ebenfalls nach dem Satzβ◦γ=id G ′′. —| ⊓⊔
Satz 2.17 (Fünferlemma). Das Diagramm von Homomorphismen abelscher Gruppen
A
f
α
B
g
β
C
h
γ
D
k
δ
A ′ α ′ B ′ β ′ C ′ γ ′ D ′ δ ′ E ′
sei kommutativ und habe exakte Zeilen. Wenn g, k Isomorphismen sind, f surjektiv
und l injektiv ist, so ist auch h ein Isomorphismus.
E
l
—
Als Übung!
—
Beweis. Wir zeigen die Aussage durch sogenannte Diagrammjagd.|— h ist
injektiv: Wir starten mit einem c∈Kern(h)⊂C. Da 0=γ ′ ◦ h(c)=k◦γ(c)
und k injektiv ist, istγ(c)=0 und∃b∈Bmitβ(b)=c. Weil g injektiv ist und
0=h◦β(b)=β ′ ◦ g(b), gibt es ein u∈A ′ mitα ′ (u)= g(b). Da f surjektiv ist, gibt
es ein v∈Amit f (v)=u. Wegen g◦α(v)=α ′ (u)= g(b) und der Injektivität
von g istα(v)=bundβ(b)=β◦α(v)=0. Daher ist c=0.
h ist surjektiv: analog. —|
⊓⊔
2.2.3 Endlich erzeugte Abelsche Gruppen
Definition 2.18. A sei eine abelsche Gruppe und E⊂A eine Teilmenge. E heißt
Erzeugendensystem von A und A heißt von E erzeugt, wenn jedes Element aus A
eine endliche Summe von Elementen aus E und von Inversen zu Elementen aus E
ist. Wenn A ein endliches Erzeugendensystem besitzt, so heißt A endlich erzeugt.
Beispiel 2.19.
1. Jede endliche abelsche Gruppe ist endlich erzeugt.
2.Z ist endlich erzeugt.{1} und{−1} sind Erzeugendensysteme.
— Version vom: 26. September 2007 —