Oliver Labs Frank-Olaf Schreyer Algebraische Topologie - Mathematik

42 1 Die Fundamentalgruppe
˜X, ˜x→˜X/H=Y H , y H →˜X/K=Y K , y K → X, x
{e} ⊂ H ⊂ K ⊂ G
Eine Untergruppe H von G vom Index [G : H]=d entspricht hierbei einer
Überlagerung mit Blätterzahl d.
Sei X zusammenhängend und lokal wegzusammenhängend. Wann besitzt X
eine universelle Überlagerung?
Ist p:˜X→X die bis auf Isomorphie eindeutige universelle Überlagerung
und ist N⊂X eine Überlagerungsumgebung von x∈N⊂X, dann liftet
jeder geschlossene Wegαin N, alsoα∈Ω(N, x), zu einem geschlossenen
Weg ˜α in˜X. Da˜X einfach zusammenhängend ist, ist ˜α aber homotop zuε ˜x
für ein ˜x∈p −1 (x). Also: [α]. ˜x= ˜x∀ ˜x∈p −1 (N), d.h. [α] liefert die triviale
Decktransformation∈ Deck(˜X/X). Das zeigt:α ∼ p(ε ˜x ) = ε x , also: [α] =
0. 2 Notwendig für die Existenz einer universellen Überlagerung ist also die
folgende Eigenschaft.
Definition 1.65. X sei zusammenhängend und lokal wegzusammenhängend. X
heißt semilokal einfach zusammenhängend, wenn zu jedem Punkt x∈X und zu
jeder Umgebung U=U(x) des Punktes eine Umgebung N= N(x)⊂Umit x∈N
existiert, so dass jeder geschlossene Wegαin N homotop zu einem konstanten Weg
in X ist.
Wir werden sehen, dass diese Eigenschaft schon hinreichend für die Existenz
einer universellen Überlagerung ist. Zunächst aber zur Abgrenzung dieses
Begriffes von seinem nahen Verwandten, dem lokal einfachen Zusammenhang.
Definition 1.66. Ein zusammenhängender und lokal wegzusammenhängender topologischer
Raum X heißt lokal einfach zusammenhängend, wenn jeder Punkt
x∈Xeine offene Umgebung U(x) besitzt, die einfach zusammenhängend ist.
Das folgende Beispiel zeigt, dass es semilokal einfach zusammenhängende
Räume gibt, die nicht lokal einfach zusammenhängend sind. Dabei wird
auch klar werden, dass in der Definition 1.65 die Homotopie vonαin der
Umgebung N zum konstanten Weg nicht unbedingt in N verlaufen muss,
sondern nur in X.
Beispiel 1.67. Wir betrachten (Abb. 1.18, links):
A=
∞⋃ {(x− 1 n )2 + y 2 = 1 }
⊂R 2 .
n 2
n=1
— Version vom: 26. September 2007 —