Oliver Labs Frank-Olaf Schreyer Algebraische Topologie - Mathematik

2.5 Das Ausschneidungsaxiom 71
Beweis. Klar nach Konstruktion der Abbildungen, Diagrammjagd.
⊓⊔
Bemerkung/Definition 2.54. 1. Ein typisches Element von H n (X, A) wird repräsentiert
durch eine triangulierte n-dimensionale Untermannigfaltigkeit M mit
Rand, deren Rand∂M in A liegt. Die Randabbildung bildet [M]↦→ [∂M] ab
(s. Abb. 2.8).
[M]∈H 2 (X, A)
X
M
A
∂M∈H 1 (A)
Abbildung 2.8. Die Randabbildung.
2. H n (X)=H n (X,∅), da sich für A=∅ in der langen exakten Sequenz ergibt
H n (A)=H n−1 (A)=0 und daher 0→H n (X)→H n (X, A)→0 exakt ist.
Satz 2.55 (Ausschneidungsaxiom). Sei (X, A) ein Raumpaar, U⊂Xeine Teilmenge,
deren Abschluss im Inneren von A liegt: U⊂ ◦ A. Dann gilt:
vermöge der Inklusion.
H n (X, A)H n (X\U, A\U)
A
U
X
Abbildung 2.9. Die Situation beim Ausschneidungsaxiom.
Bevor wir diesen Satz beweisen, geben wir zunächst eine Umformulierung
und dann einige Anwendungen.
Satz 2.56 (Ausschneidungsaxiom, zweite Formulierung). Seien X 1 , X 2 ⊂ X
und X= X ◦
1 ∪ X ◦
2 . Dann induziert j: (X 1 , X 1 ∩ X 2 )֒→(X, X 2 ) einen Isomorphismus
H n (X 1 , X 1 ∩ X 2 ) → H n (X, X 2 ).
— Version vom: 26. September 2007 —