Oliver Labs Frank-Olaf Schreyer Algebraische Topologie - Mathematik

80 2 Homologie
2.6 Zusammenhang simpliziale/singuläre Homologie
Wir zeigen nun, dass die beiden Homologie–Theorien, die wir in den vorangehenden
Abschnitten eingeführt haben, im Wesentlichen das Gleiche liefern.
Dies fassen wir am Ende dieses Abschnittes in den Eilenberg–Steenrood–
Axiomen zusammen.
Sei dazu K ein simplizialer Komplex und|K|⊂∆ N ⊂R N+1 der zugrunde
liegende Raum. Elemente von C p (K) sind spezielle affine Simplizes in|K|. Wir
haben also eine Inklusion von Komplexen:
C p (K)
C p−1 (K)
C p (|K|) C p−1 (|K|)
Es gilt aber sogar:
Satz 2.74. Die Inklusion C•(K)→C•(|K|) induziert einen Isomorphismus von Homologiegruppen:
H n (K)H n (|K|).
Beide Homologietheorien liefern also das gleiche Ergebnis und es folgt sofort
der Satz 2.35, dessen Beweis wir verschoben hatten. Bevor wir Satz 2.74 aber
beweisen können, benötigen wir noch einige Vorbereitungen. Zunächst aber
eine weitere unmittelbare Folgerung:
Korollar 2.75. Für einen triangulierbaren Raum X sind alle Homologiegruppen
H n (X) endlich erzeugte abelsche Gruppen.
Beweis. Nach Voraussetzung ist X=|K| für ein gewisses K. Für H n (K) ist die
endliche Erzeugung klar, da schon der ganze Komplex C•(K) endlich erzeugt
ist (undZnoethersch ist).
⊓⊔
Den Beweis von Satz 2.74 werden wir induktiv führen. Dazu benötigen wir
den Begriff eines Paares auch für simpliziale Komplexe:
Definition 2.76. Sei L⊂Kein Unterkomplex. Dann ist C•(L)⊂C•(K) ein Unterkettenkomplex.
C•(K, L) := C•(K)/C•(L) und H n (K, L) := H n (C•(K, L))
heißen relativer simplizialer Kettenkomplex und relative simpliziale Homologie.
— Version vom: 26. September 2007 —