Oliver Labs Frank-Olaf Schreyer Algebraische Topologie - Mathematik

2.3 Simpliziale Homologie 63
Beweis. Die Unabhängigkeit von der Triangulierung folgt aus dem obigen
Satz 2.35. Für die Gleichung (∗) bemerken wir zunächst, dass es eine kurze
exakte Sequenz
0→Kern∂ p
id
֒→ C p (K,Z) ∂ p
→ Bild∂ p → 0
gibt, da dann offenbar die Stelle C p exakt ist. Dies zeigt:
rang B p−1 (K)+rang Z p (K)=rang C p (K,Z).
Außerdem gilt nach Definition der Homologiegruppen:
rang H p (K)+rang B p (K)=rang Z p (K).
Mit diesen beiden Gleichungen folgt nun:
n∑
(−1) p rang C p (K,Z)=
p=0
=
=
n∑
(−1) p( rang B p−1 (K)+rang Z p (K) )
p=0
n∑
(−1) p( rang B p−1 (K)+rang H p (K)+rang B p (K) )
p=0
n∑
(−1) p rang H p (K)=e(|K|).
p=0
⊓⊔
Dieses Korollar liefert eine recht einfache Möglichkeit, die Eulerzahl für einen
gegebene triangulierten Raum auszurechnen. Wir betrachten dies am Beispiel
der Zwei-Sphäre:
Beispiel 2.38. Wir betrachten zwei Triangulierungen der S 2 ⊂R 3 : diejenige,
die durch einen regelmäßigen Tetraeder gegeben wird und jene, die durch den
Würfel gegeben wird, bei der jede Seitenfläche in zwei Dreiecke geteilt wird.
Wir berechnen die Eulerzahl über die Ränge der freien abelschen Gruppe C p ,
d.h. über die Anzahl c i der Erzeuger in den einzelnen Dimensionen:
Für den Würfel gilt: c 0 = 8, c 1 = 3·4+6=18, c 2 = 6·2=12, also
Für den Tetraeder ergibt sich:
e(Würfel)=c 0 − c 1 + c 2 = 8−18+12=2.
e(Tetraeder)=c 0 − c 1 + c 2 = 4−6−4=2.
Wie erwartet erhalten wir also für beide Triangulierungen das gleiche Ergebnis.
Die Eulerzahl der Sphäre ist e(S 2 )=2. ⊓⊔
— Version vom: 26. September 2007 —