Oliver Labs Frank-Olaf Schreyer Algebraische Topologie - Mathematik

46 1 Die Fundamentalgruppe
Abbildung 1.19. Die Aufteilung der Sphäre in zwei Teilmengen X 1 und X 2 mit S 2 =
◦
X 1 ∪ X ◦
2 . Das ganz rechte Bild zeigt deren Schnitt X 1 ∩ X 2 .
Daπ 1 (U, x)=π 1 (V, x)=0, erhalten wir mit Seifert – van Kampen:π 1 (S n , x)=0.
Wenn es nämlich ein g∈π 1 (S n , x) geben würde mit ge, dann gäbe es
zwei verschiedene h:π 1 (S n , x)→π 1 (S n , x), einmal die Identität mit h(g)= g
und den trivialen Gruppenhomomorphismus mit h(g)=e. In beiden Fällen
wäre die Voraussetzung für h trivialerweise erfüllt, da U und V ja einfach
zusammehängend sind und daher nur h 1 ([γ 1 ])=h(j 1 (e))=e=h 2 ([γ 2 ])=
h(j 2 (e)) zu überprüfen ist.
⊓⊔
Der gleiche Beweis funktioniert auch allgemeiner:
Korollar 1.71. Ist X=U∪V mit U, V, U∩V wegzusammenhängend, so gilt: Aus
π 1 (U,∗)=0,π 1 (V,∗)=0 folgt:π 1 (X,∗)=0.
Die Voraussetzung U, V, U∩V zusammenhängend ist wichtig. Beispielsweise
trifft sie nicht auf den Ring (ein ausgefüllter Torus) zu, wenn er als Vereinigung
zweier Mengen geschrieben wird, die jeweils zu einer Kreisscheibe
homöomorph sind.
Definition 1.72. SeiAeine Menge, genannt Alphabet. Eine formale Potenz der
Form a k , a∈A, k∈Z heißt Silbe, eine endliche Folge von Silben a k 1···ak 1 n
n Wort.
Die Folge mit Länge 0 heißt leeres Wort, geschrieben als e oder 1. Mit W(A)
bezeichnen wir die Menge aller Wörter überA. Mit der Hintereinanderschreibung
als Produkt wird (W(A),·) zu einer Halbgruppe mit neutralem Element 1.
Zu einer Gruppe wird dies, indem wir den Quotienten F(A) := W(A)/∼ betrachten,
wobei hierbei zwei Wörter als äquivalent angesehen werden, wenn sie durch offensichtliche
Verkürzungen ineinander übergehen, genauer: für U, V∈W(A), a∈A,
p, q ∈ Z: Ua 0 V ∼ UV und Ua p a q V ∼ Ua p+q V. Man kann zeigen, dass F(A)
tatsächlich eine Gruppe ist, die sogenannte freie Gruppe überA.
Beispiel 1.73. Die freie Gruppe F({a}) über einem Buchstaben a ist isomorph
zu den ganzen Zahlen: F({a})≃Z. ⊓⊔
— Version vom: 26. September 2007 —