Oliver Labs Frank-Olaf Schreyer Algebraische Topologie - Mathematik

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76 2 Homologie es gibt mindestens einen Punkt, an dem dies nicht funktioniert. Für diesen und weitere Anwendungen siehe die angegebene Literatur, wie [SZ88]. Im Kapitel 11.7 wird dort beispielsweise der sogenannte Brouwersche Separationssatz bewiesen, der sagt, dassR n \S bzw. S n \S aus genau zwei Wegzusammenhangskomponenten bestehen, falls S⊂R n bzw. S⊂S n eine (n−1)- dimensionale Sphäre ist, falls n≥2; für n=2 heißt dieser Satz Jordanscher Kurvensatz. Im Gegensatz dazu werdenR n und S n durch eine darin enthaltene Sphäre der Dimemsion
2.5 Das Ausschneidungsaxiom 77 Abbildung 2.13. Definition der Abbildung K b [a 0 ,...,a n ]. 3. Wir definieren nun Unterteilungsoperatoren U n : C aff n (V)→Caff n (V), wobei C aff n (V) die affinen Simplizes in V bezeichnet. Dazu setzen wir U 0= id, ( U n [a0 ,..., a n ] ) ( ( := Kā Un−1 ∂[a0 ,..., a n ] )) . Lemma 2.67. Es gilt: ∂ n U n = U n−1 ∂ n . Beweis. Mit Induktion. ⊓⊔ Wir verallgemeinern U n nun auf beliebige topologische Räume: Definition 2.68. Wir setzen: U n : C n (X)→C n (X), U n (σ) :=σ◦U n (id ∆n ). Weiterhin gilt∂ n U n = U n−1 ∂ n und außerdem: Lemma 2.69. U n induziert die Identität auf der Homologie H n (X). Beweis. Leider haben wir keine Zeit, hier eine Homotopie R n : C n (X) → C n+1 (X) zwischen U n und id C• (X) zu konstruieren. Dies wäre etwa eine Seite Detailarbeit. ⊓⊔ Problem: Es fehlt noch etwas! Die Gruppen H n (X,a) Definition 2.70. Sei X ein topologischer Raum unda={U i | i∈I} eine Überde- ◦ ckung von X mit ⋃ i∈I U i = X (das Innere liefert also eine offene Überdeckung). Wir definieren: C n (a) := C n (X,a) :=〈σ∈C n (X)|Bildσ⊂U i für ein i〉 als die Simplizes mit Feinheita. — Version vom: 26. September 2007 —
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2.5.2 Beweis des Aussschneidungsaxi
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X ABBILDUNGSVERZEICHNIS 2.9 Die Sit
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Satz von Seifert - van Kampen bewei
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1 Die Fundamentalgruppe Die Fundame
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1.1 Definition der Fundamentalgrupp
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Seite 91 und 92: 2.7 Zur Klassifikation der kompakte
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