Oliver Labs Frank-Olaf Schreyer Algebraische Topologie - Mathematik

30 1 Die Fundamentalgruppe
Beweis. Die Notwendigkeit ist einfach. Ist nämlich˜α(1)=˜β(1), dann ist [˜α∗
˜β −1 ]∈π 1 (Y, y 0 ) und daher:
p ∗ [˜α∗˜β −1 ]=[α∗β −1 ]∈p ∗ π 1 (Y, y 0 ).
—
Als Übung!
—
|— Umgekehrt gilt:α∗β −1 ∼ p ∗ ◦γ für einen geschlossenen Wegγvermöge
einer Homotopie H. Dann liefert Homotopieliftung ein˜H : [0, 1]×[0, 1]→ Y
mit ˜H(0,.) = γ. Die Eindeutigkeit dieser Liftung ergibt: ˜H(1,.) = ˜α∗˜β−1 ,
insbesondere: ( 1
˜H
2 , 1 =˜α(1)=˜β(1).
2)
—| ⊓⊔
Wir haben jetzt alle grundlegenden Eigenschaften von Überlagerungen und
Liftungen — insbesondere deren Eindeutigkeit und die Existenz von Pfad–
und Homotopie–Liftungen — bewiesen, so dass wir diese Konzepte im folgenden
Abschnitt anwenden können.
1.4 Decktransformationen und Universelle Überlagerung
—– 5. Vorlesung:
16. Mai ’07 —– Viele Überlagerungen entstehen aus Quotientenbildung nach einer Gruppenoperation.
Da diese im weiteren Verlauf eine wichtige Rolle spielen, führen
wir zunächst kurz in dieses Konzept ein, bevor wir es danach auf Decktransformationen
anwenden, um einige weitere Fundamentalgruppen berechnen
zu können.
1.4.1 Gruppenoperationen
Definition 1.36. Sei G eine Gruppe mit neutralem Element e und sei Y ein topologischer
Raum. Eine Operation von G auf Y ist eine Abbildung
mit den folgenden Eigenschaften:
1. g.(h.y)=(gh).y∀ g, h∈G, y∈Y,
2. e.y= y∀y∈Y,
3. Y→Y, y↦→ g.y ist stetig∀g∈G.
G×Y→Y, (g, y)↦→ g.y
Bemerkung 1.37. Dann ist also Y→Y, y↦→ g.y ein Homöomorphismus, denn
y↦→ g −1 .y ist die stetige Umkehrabbildung, da g −1 (g.y)=(g −1 g).y=e.y= y.
— Version vom: 26. September 2007 —