Oliver Labs Frank-Olaf Schreyer Algebraische Topologie - Mathematik

52 2 Homologie
Definition 2.1. Eine KategorieCbesteht aus
1. einer Klasse Ob(C) von Objekten,
2. zu je zwei Objekten X, Y∈Ob(C) einer Menge von Morphismen Hom(X, Y)
(Schreibweise: f : X→Yfür f∈ Hom(X, Y)),
3. zu drei Objekten X, Y, Z∈Ob(C) einer Abbildung (der Komposition):
mit folgenden Eigenschaften:
Hom(X, Y)×Hom(Y, Z)→Hom(X, Z), ( f, g)↦→ g◦ f
Assoziativität: Es seien die Objekte X, Y, Z, W∈Ob(C) und die Morphismen f ∈
Hom(X, Y), g∈Hom(Y, Z), h∈Hom(Z, W) gegeben. Dann gilt:
h◦(g◦ f )=(h◦ g)◦ f.
Identität: Für jedes X∈Ob(C) existiert ein Morphismus id X ∈ Hom(X, X), so dass:
∀ f∈ Hom(X, Y) : f◦ id X = f, ∀g∈Hom(Z, X) : id X ◦ g= g.
Definition 2.2. Ein Morphismus f : X→Yheißt Isomorphismus bzw. Äquivalenz,
falls es ein g: Y→X gibt mit g◦ f = id X und f◦ g=id Y . Existiert ein
solcher Isomorphismus, so heißen X und Y isomorph.
Beispiele für Kategorien sind in der Mathematik allgegenwärtig:
Beispiel/Definition 2.3. 1. Die KategorieS(oder Sets) der Mengen und Abbildungen.
Die Objekte sind die Mengen und für je zwei Mengen X und
Y ist Hom(X, Y) die Menge der Abbildungen von X nach Y.
2. Die KategorieTOP (oder Top) der topologischen Räume und stetigen
Abbildungen.
3. Die KategorieTOP ∗ der topologischen Räume mit Basispunkt und stetigen
Abbildungen, die Basispunkte auf Basispunkte abbilden.
4. Die KategorieG(oder Groups) der Gruppen und Gruppenhomomorphismen.
5. Die KategorieAB (oder Ab) der abelschen Gruppen und Gruppenhomomorphismen.
Definition 2.4. Eine UnterkategorieC ′ ⊂C ist eine KategorieC ′ , so dass jedes
Objekt vonC ′ ein Objekt vonCist und für X, Y∈C ′ Hom C ′(X, Y)⊂Hom C (X, Y)
und die Kompositionen inC ′ die Komposition inCist.
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— Version vom: 26. September 2007 —