Oliver Labs Frank-Olaf Schreyer Algebraische Topologie - Mathematik

Satz von Seifert – van Kampen beweisen. Dieser Satz erleichtert erheblich die
Berechnung von Fundamentalgruppen und bildet den Höhepunkt des ersten
Teils der Vorlesung. Die höher-dimensionalen Analoga der Fundamentalgruppe
sind sehr schwierig zu berechnen. Daher gehen wir im zweiten
Teil der Vorlesung auf die leichter zugänglichen Homologiegruppen ein. Wir
führen diese zunächst mit Hilfe der anschaulich recht leicht verständlichen
simplizialen Homologie ein, bevor wir schließlich die singuläre Homologie
behandeln. Zu deren Berechnung wird die Mayer–Vietoris–Sequenz das wesentliche
Hilfsmittel sein.
Leider können wir aus Zeitgründen (12 Doppelstunden) weder auf die Kohomologietheorie
noch auf Poincaré–Dualität eingehen. Wir können aber alle
wichtigen Sätze über die Fundamentalgruppe sowie über Homologiegruppen
beweisen und die vorgestellte Theorie mit vielen interessanten klassischen,
sowie anschaulichen Beispielen und Anwendungen illustrieren.
An die Hörer wird, außer der großen Menge an Stoff, die in recht kurzer Zeit
ohne begleitende Übungsstunden präsentiert wird, kaum eine Anforderung
gestellt. Genauer setzen wir an Wissen nur Mengenleere, ein wenig lineare
Algebra und Algebra (insbesondere Gruppentheorie, hier hauptsächlich abelsche
Gruppen), grundlegende topologische Begriffe (wie (gleichmäßig) stetig,
kompakt) und etwas Analysis (reelle Zahlen, Intervalle, Zwischenwertsatz,
komplexe Zahlen) voraus. Grundlagen der komplexen Analysis, also der
Funktionentheorie, sind hilfreich, aber nicht notwendig. Abgesehen von der
Gruppentheorie sollten also alle nötigen Grundlagen aus den Grundvorlesungen
bekannt sein; wir werden daher an die wichtigsten Resultate aus der
Gruppentheorie, die wir benötigen, wenigstens kurz erinnern. Sollte doch Unklarheit
bezüglich eines von uns ohne ausführliche Erklärung verwendeten
grundlegenden Begriffes oder Faktes herrschen, so liefert [May89] (insbesondere
das einführende Kapitel) in den meisten Fällen eine gut verständliche
Erläuterung.
Als Appetithäppchen verweisen wir auf die vom Dozenten gemeinsam mit
H.-C. Graf von Bothmer erstellten Animationen, die auf unserer Webseite
einsehbar sind und die einige der in der Vorlesung behandelten Konzepte
visualisieren:www.Calendar.AlgebraicSurface.net.
Diese Vorlesung basiert auf mehreren Büchern und Skripten, insbesondere
aber auf [Ful95], [May89], [SZ88], [Hat02] sowie den handschriftlichen Vorbereitungen
einer ebenfalls zweistündigen Vorlesung, die der zweite Autor
im Wintersemester 2003/04 gehalten hat. Im Vergleich zur Letzteren behandeln
wir zwar etwas weniger Theorie, besprechen dafür aber mehr konkrete
Beispiele und setzen weniger Hintergrundwissen als bekannt voraus.
Oliver Labs, Frank-Olaf Schreyer