Elektrische Maschinen Teil: 1 u. 2

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Prof. Dr.-Ing. E. Nolle 1-6 Elektrische Maschinen 1.3 Wechselstromnetzwerke 1.3.1 Symbolische Methode Im engeren Sinne spricht man von linearen, sinusförmigen Wechselstromnetzwerken, wenn alle Ströme und Spannungen zeitlich sinusförmig mit der gleichen Frequenz f und konstanter Amplitude und Phase verlaufen. ϕ ϕ u Bild 1.8 Sinusförmiger Verlauf von Strom und Spannung Dabei wird nach DIN 40110 der Strom I als Bezugsgröße gewählt. Für die Zeitabhängigkeit gilt dann z.B. ∧ u( t) = U sin ( ω t + ϕ ) = 2U sin( ω t + ϕ ) u u ⎧ ⎫ ∧ ∧ ∧ ⎧ j( ω t+ ϕ ) ⎪ ⎪ u ⎫ jϕu jω t ⎧ jω t ⎫ = Im⎨U ⋅e ⎬ = Im⎨U1 ⋅2e 3 ⋅e ⎬ = Im⎨U ⋅e ⎬. ⎩ ⎭ ⎪ ∧ ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ U ⎭ Da sich in gleicher Weise alle Ströme und Spannungen in der Form komplexer Scheitelwert • Drehfaktor darstellen lassen, kann man solche Wechselstromnetzwerke elegant durch Zusammenhänge komplexer Zeiger beschreiben. Lediglich wenn konkrete Zeitwerte gewünscht werden, sind diese gemäß der oben genannten Vorschrift zu bilden. Alle Aussagen über Zählpfeile können für die komplexen Scheitel- bzw. Effektivwerte übernommen werden. Desgleichen gelten die für Gleichstromnetzwerke bzw. Augenblickswerte formulierten Kirchhoffschen Sätze auch für die komplexen Zeiger, wie sich durch Ausklammern des gemeinsamen Drehfaktors leicht zeigen lässt: ∧ ∧ ∑I n = ∑In= 0 , ∑U n = ∑U n = 0 . n n ϕ i u(t) n p(t) Dieses Verfahren, Wechselstromnetzwerke durch komplexe Zeiger zu behandeln, bezeichnet man als symbolische Methode. 1.3.2 Der komplexe Widerstand Bekanntlich gilt im Zeitbereich zwischen Strom und Spannung an den Grundelementen: di 1 u R = R ⋅i , u L = L und uC = ∫ i dt . dt C Diese Zusammenhänge vereinfachen sich für die komplexen Zeiger, gemäß obiger Abbildungsvorschrift, n i(t) ωt
Prof. Dr.-Ing. E. Nolle 1-7 Elektrische Maschinen zu den rein algebraischen Operationen U U R L = R ⋅ I = jωLI = jX I mit X = X L = ωL 1 1 U C = I = jX I mit X = −X C = − . jωC ωC Somit bleibt unter Einführung von Blindwiderständen bzw. allgemein komplexen Widerständen das Ohmsche Gesetz auch für Wechselstromnetzwerke in der Form mit gültig. ∧ ∧ jϕu U U U e U j( ϕ ) U u −ϕi j = = = e = e ∧ ∧ ∧ ∧ I I jϕi I e I I Z = R + R = Re X = Im u jX { Z} { Z} Z = Z = R + X ϕ = ϕ -ϕ = arg 1.3.3 Ortskurven i 2 2 ∧ X R ∧ ϕ = Z Wirkwiderstand Blindwiderstand Scheinwiderstand ( Z) = arc tan Phasenwinkel komplexer Widerstand, Impedanz Oftmals soll der Zusammenhang zwischen Strom und Spannung nicht nur für eine Frequenz untersucht werden. Man kann dann z. B. U Z ( ω ) = = R( ω ) + jX ( ω ) I als Ortskurve in der komplexen Zahlenebene, hier dann als Widerstandsebene bezeichnet, darstellen. Als Beispiel wird in Bild 1.9 die Reihenschaltung aus R und L mit der Frequenz ω als Parameter betrachtet: Z = R + jX L = R + jωL. Den geometrischen Ort der Zeigerspitze einer interessierenden Wechselstromgröße ( Z ) in Abhängigkeit von einem skalaren Parameter (ω) bezeichnet man als Ortskurve der betreffenden Größe. Ortskurven sind wichtige Hilfsmittel zur Beschreibung des Betriebsverhaltens von elektrischen Maschinen. U _I R L { } jIm Z_ Z(ω) _ ω= 0 0 R Re { Z_ } Bild 1.9 Widerstandortskurve der Reihenschaltung aus R und L mit ω als Parameter ω ω
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