2 Lineare Gleichungssysteme - Duden Paetec

Standpunkte und Hinweise zur Behandlung des Themas 5Thema h Schwerpunkte (•), Bemerkungen (–)1.6 Gemischte Aufgaben 3 Auswahl von 2 bis 3 Schwerpunkten:• Umformen von Termen• Rechnen mit Quotienten• Übersetzen von Texten zu Zahlen und geometrischen Sachverhalten• formale Aufgaben zu Potenzgesetzen• Sachaufgaben zum Rechnen mit Zehnerpotenzen• Sachaufgaben zum exponentiellen Wachstum• Sachaufgaben zum Rechnen mit Zehnerpotenzen, Entwicklung von Größenvorstellungenund Umgehen mit Einheitenvorsätzen– große Volumina– große Geldbeträge– kleine Entfernungen– große Anzahlen– große Entfernungen, Massen und DichtenSumme: 28Standpunkte und Hinweise zur Behandlung des ThemasBehandlung der reellen ZahlenBereits in Klasse 7 wurde im Zusammenhang mit der Behandlung der Quadratwurzeln der Begriff irrationale Zahl alsunendlicher nichtperiodischer Dezimalbruch eingeführt und die Bestimmung der Dezimalstellen am Beispiel der Zahl2 erläutert. In Klasse 8 lernten die Schüler die irrationale Zahl π kennen.Bei der Behandlung der reellen Zahlen in Klasse 9 sollte man diese Kenntnisse aufgreifen und vertiefen. Insbesonderesollte auf Bildung und Eigenschaften unendlicher nichtperiodische Dezimalbrüche eingegangen werden. Dabei erweiternsich die Vorstellungen zu Dezimalbrüchen, die jetzt nicht mehr generell als Form der Darstellung gebrochener Zahlenangesehen werden können. Die von den Schüler oft bereits intuitiv vorgenommen Trennung von Brüchen und Dezimalbrüchenerhält nun auch eine fachliche Grundlage. Dezimalbrüche sind im Allgemeinen keine spezielle Form oder Darstellungvon Brüchen. Dies trifft nur für endliche oder unendliche periodische Dezimalbrüche zu.Der Beweis der Irrationalität von 2 kann genutzt werden, um das Verfahren des indirekten Beweises abzuheben. Umdie Schlussweise verständlich zu machen, kann davon ausgegangen werden, dass eine Behauptung entweder wahr oderfalsch ist und ein dritter Fall nicht möglich ist. Anstelle direkt nachzuweisen, dass eine Behauptung richtig ist, kann diesauch indirekt beweisen werden, indem man zeigt, dass die Annahme, die Behauptung wäre falsch, zu einem Widerspruchführt. Diese Schlussweise entspricht den Gedankengängen bei einem „Alibibeweis“ in der Kriminalistik. Das Alibi einerPerson beweist indirekt, dass sie nicht der Täter sein kann.Mit historischen Betrachtungen zur Entdeckung der irrationalen Zahlen durch die Pythagoreer und Betrachtungen zurDichtheit der rationalen und irrationalen Zahlen kann das Bild der Schüler über die Mathematik vertieft werden.Rechnen mit QuotientenDas Rechnen mit Quotienten sollte vor allem zur Wiederholung des Rechnens mit gemeinen Brüchen genutzt werden.Die entsprechenden Vorgehensweisen beim Arbeiten mit Quotienten können durch Verallgemeinerung der Regeln derBruchrechnung gewonnen werden.Durch die komplizierte Struktur der Terme, die Häufung von Variablen und die ohnehin vorhandenen Probleme mit derBruchrechnung sind die Aufgaben sehr anspruchsvoll. Wegen ihrer geringen Bedeutung in der späteren Entwicklung derRealschüler sollte das Rechnen mit Quotienten nur in geringem Umfang durchgeführt werden.Die Entwicklung des PotenzbegriffsBereits im Rückblick sollte bei der Wiederholung des Potenzbegriffes darauf hingewiesen werden, dass bisher nur natürlicheZahlen als Exponenten verwendet wurden und die Formulierung: „Der Exponent gibt an, wie oft die Basis als Faktorauftritt.“ nur für natürliche Zahlen als Exponenten gilt.Die oft verwendetet Formulierung „an heißt n-mal der Faktor a“ sollte deshalb und auch wegen der leichten Verwechslungmit n · a vermieden werden.Die Definition a –n = ---- 1 sollte ausführlich begründet und motiviert werden. Da die Potenzgesetze noch nicht zur Verfügungstehen, kann nur ndas Permanenzprinzip verwendet und auf die den Schülern bekannte Bedeutung negativeraExpo-