Rotationsauflösende Laserspektroskopie - CFEL at DESY

10 2. Theorie der Molekülrotation
Durch Ausmultiplizieren der Matrizen ergibt sich
⎛
cos θ cos φ cos χ
⎜
− sin φ sin χ
�S = ⎜
− cos θ cos φ sin χ
⎝ − sin φ cos χ
cos θ sin φ cos χ
+ cos φ cos χ
− cos θ sin φ sin χ
− sin φ cos χ
⎞
− sin θ cos χ
⎟
sin θ sin χ ⎟
⎠
sin θ cos φ sin θ sin φ cos θ
(2-4)
�S wird auch „Richtungskosinus-Matrix“ genannt. �S ist eine orthogonale
Matrix, das heisst
�S −1 = �S T . (2-5)
Die drei aufeinanderfolgenden Rotationen entsprechen dabei folgenden Aktionen
(positive Winkel im Uhrzeigersinn gemessen):
1. Drehe X und Y um den Winkel φ um Z nach X ′ bzw. Y ′ .
2. Drehe X ′ und Z um den Winkel θ um Y ′ nach X ′′ bzw. z .
3. Drehe X ′′ und Y ′ um den Winkel χ um z nach x bzw. y.
Es gilt die Relation
⎛ ⎞
Xi ⎜ ⎟
⎝Yi
⎠ = �S
Zi −1
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
xi ∆xi ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝yi⎠
+ ⎝∆yi
⎠ (2-6)
zi ∆zi zwischen den molekülfesten Gleichgewichtskoordinaten xi, yi, zi, den molekülfesten
Auslenkungskoordinaten ∆xi, ∆yi, ∆zi und den Schwerpunktskoordinaten
Xi, Yi, Zi. Betrachtet man die Rotation starrer Moleküle, so sind
∆xi = ∆yi = ∆zi = 0 und man erhält
⎛ ⎞
Xi ⎜ ⎟
⎝Yi
⎠ = �S
Zi −1
⎛ ⎞
xi ⎜ ⎟
⎝yi⎠
(2-7)
zi Die Eulerwinkel werden dabei durch
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
xi Xi ⎜ ⎟
0 = ∑ mi ⎝yi⎠
× �S
⎜ ⎟
⎝Yi
⎠ (2-8)
i zi Zi bestimmt.