4.6 Vergleichsrechnung mit Hilfe des SST Modells - Lehrstuhl ...

Wie der Name schon sagt, wird das Strömungsgebiet in diskrete finite Elemente zerlegt. Für die
zu berechnenden Variablen der diskreten Gitterpunkte werden örtliche Formfunktionen ange-
setzt. Die gesuchte Verteilung der unbekannten Größen wird als Linearkombination der ge-
wichteten Formfunktionen approximiert. Die dadurch entstehenden Koeffizienten zur
Gewichtung der Formfunktion werden so bestimmt, dass der Einsetzfehler der approximierten
Verteilung in die exakte Bestimmungsgleichung minimal wird. Die entstandenen Abweichun-
gen werden als Residuen bezeichnet. Durch das System der Minimierungsgleichungen der Re-
siduen werden die unbekannten Koeffizienten der Approximation bestimmt, d.h. die
Berechnung der diskreten Werte wird auf die Bestimmung der Koeffizienten als Lösung des
Gleichungssystems der Minimierungsgleichungen reduziert.
Die Finite Differenzen Methode [2; 4; 6] wurde bereits im 18. Jahrhundert von Euler ange-
wandt und ist somit die älteste Methode zur Lösung partieller Differenzialgleichungen. Zudem
ist sie für einfache Geometrien auch die einfachste Methode.
Die Erhaltungsgleichungen in ihrer differenziellen Form werden für die Methode herangezo-
gen. Für jeden Knoten des durch das Gitter unterteilten Strömungsgebietes wird die Differen-
zialgleichung durch Approximation der partiellen Ableitung angenähert, d.h. Ableitungen wer-
den durch finite Differenzen ersetzt. Daraus folgt eine algebraische Gleichung, in der die ge-
suchte Variable in diesem Knoten und einer Anzahl von benachbarten Knoten als Unbekannte
auftritt. Mit Hilfe einer Taylorentwicklung oder Polynominterpolation approximiert man dann
die ersten und zweiten Ableitungen der Variablen bezüglich der Koordinaten.
Bei der Finite Volumen Methode [2; 4; 6], von Fluent verwendet, wird das Strömungsgebiet
mit einem numerischen Netz diskretisiert. Jedoch werden hier, anders als bei der Finite Diffe-
renzen Methode, die Erhaltungsgleichungen für jedes Volumenelement in integraler Form ge-
löst. Bei der Finite Volumen Methode wird der Ausdruck „Zelle“ benutzt, im Unterschied zum
Ausdruck Element der Finite Elemente Methode. Die Diskretisierung erfolgt für die Zellenmit-
telpunkte und die Kontrollvolumina werden um diese gelegt. Jeder dieser Punkte besitzt diskre-
tisierte Koordinaten, die die jeweilige Raumrichtung bezeichnen. In jedem dieser Rechenknoten
wird der Wert der Variable berechnet. Um die Variablen der Randknoten zu bestimmen, werden
Interpolationen angewandt. Danach werden die auftretenden Oberflächen- und Volumeninte-
grale durch geeignete Quadraturregeln approximiert. So entsteht für jedes Kontrollvolumen
eine algebraische Gleichung mit den Werten der Variablen des Rechenknotens und seinen un-
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