Applied numerical modeling of saturated / unsaturated flow and ...

multipliziert wird, um einen fehlerbehafteten Messwert für die Piezometerhöhe aus dem Intervall [h-
∆hmax, h+∆hmax ] zu erhalten. Die fehlerbehafteten Messwerte streuen also symmetrisch um den
wahren Wert. ∆hmax wird zwischen 0 und 5 cm variiert. Bei der Ermittlung der Ratenkonstante wird nun
bei der Probenahme für die Piezometerhöhe ein Messfehler gemäß des vorgestellten Fehlermodells
berücksichtigt. Die gesamte Auswertung wird einhundert mal durchgeführt, um statistisch
repräsentative Aussagen über den Einfluss des Messfehlers auf die Ratenkonstante zu erlangen.
Da für die Messung von Konzentrationen ein höherer Messfehlerbereich zu erwarten ist, wurde das
Fehlermodell angepasst:
a
[2] c ′ = c z∆c
)
5
( max
wobei c’ die fehlerbehaftete, ch die wahre Konzentration und ∆cmax der maximale Messfehlerfaktor für
die Konzentration ist. Der Exponent a ist –1 oder 1 und wird zufällig bestimmt, z ist eine gleichverteilte
Zufallszahl aus dem Intervall [0, 1], mit der ∆cmax multipliziert wird. Man erhält so einen fehlerbehaftet
Messwert für die Konzentration aus dem Intervall [c/∆cmax, c∆cmax ]. ∆cmax wird zwischen 1 und 100
variiert. Dieses Verfahren ist ähnlich zu dem für die Piezometerhöhe angewendeten Verfahren und ein
Messfehlerfaktor von 2 entspricht dem umgangsprachlichen „auf einen Faktor 2 genau“. Für die
Bestimmung des Einflusses von Konzentrationsmessfehlern wurden ein homogenes Strömungsfeld
und keine Messfehler für die Piezometerhöhe angenommen. Für den konservativen und den reaktiven
Stoff wird dasselbe Messfehlermodell angenommen.
Die vier Methoden, anhand derer die Abbauraten bestimmt werden, sind in Tabelle 1 aufgeführt.
Methode 1 stellt die Lösung zur eindimensionalen Advektionsgleichung mit Abbau erster Ordnung dar.
Methode 2 wurde von WIEDEMEIER et al. (1996) vorgeschlagen, und baut auf Methode 1 auf.
Allerdings werden die Konzentrationen des reaktiven Stoffes auf die Konzentrationen des nichtreaktiven
Stoffes bezogen. Dadurch berücksichtigt Methode 2 Dispersion, Verdünnung und „Aus der
Fahne Messen“ an Beobachtungspegeln, die nicht genau auf der Zentrallinie der Fahne liegen. Die
dritte Methode wurde von BUSCHECK & ALCANTAR (1995) vorgestellt und basiert auf der eindimensionalen
Transportgleichung mit Advektion, Dispersion und Abbau erster Ordnung. Diese Methode
beinhaltet somit explizit die longitudinale Dispersion. ZHANG & HEATHCOTE (2003) beschrieben die
vierte Methode, die auf der analytischen Lösung zur zweidimensionalen Transportgleichung beruht
und zusätzlich zur longitudinalen auch die transversale Dispersion berücksichtigt.
Tab. 1 Methoden zur Bestimmung von Abbauratenkonstanten erster Ordnung λ. va ist die
Transportgeschwindigkeit, ∆x ist der Abstand der verwendeten Beobachtungspegel, C(x) ist die unterstromige
und C0 die Quellkonzentration. αL und αT sind die longitudinale und transversale Dispersivität, WS ist die
Quellbreite und erf ist die Fehlerfunktion.
Methode Formel für Abbauratenkonstante Beschreibung
1 ⎟ v ⎛ ⎞
a C(
x)
λ = −
⎜
1 ln
∆x
⎝ C0
⎠
2
3
4
v ⎛ ∗ ⎞
a ⎜ C(
x)
C0
λ = −
⎟
2 ln
∆x
⎜ C ∗ ⎟
⎝ 0 C(
x)
⎠
( C(
x)
C )
2
v ⎛
⎞
a ⎜⎛
ln
0 ⎞
λ
− ⎟
3 =
⎜
⎜1−
2α
L
⎟ 1
4α
⎟
L ⎝⎝
∆x
⎠ ⎠
( C(
x)
( C β ) )
2
v ⎛
⎞
a ⎜⎛
ln
0 ⎞
λ
− ⎟
3 =
⎜
⎜1−
2α
L
⎟ 1
4α
⎟
L ⎝⎝
∆x
⎠ ⎠
mit:
⎛ ⎞
⎜
WS
β = erf ⎟
⎜ ⎟
⎝ 4 αT
∆x
⎠
Analytische Lösung der 1D
Advektionsgleichung mit Abbau erster
Ordnung
Wie Methode 1, aber Konzentration normiert
auf einen nichtreaktiven Mitkontaminand,
berücksichtigt Verdünnung und Dispersion
Analytische Lösung der 1D Transportgleichung
mit longitudinaler Dispersion
Analytische Lösung der 2D Transport-
gleichung. Berücksichtigt sind longitudinale
und transversale Dispersion und die
Quellbreite