Applied numerical modeling of saturated / unsaturated flow and ...

Um diesen Effekt zu verdeutlichen sind in Abb. 2 für alle Methoden noch die für den homogenen Fall
bestimmten Ratenkonstanten eingetragen. Die Ergebnisse sind für σ²ln(K) = 0 in den Abbildungen
rechter Hand als kleine horizontale Balken dargestellt. Für Methode 1 und Methode 2 beträgt die
normalisierte Ratenkonstante im homogenen Fall genau 1.0, d.h. diese Methoden liefern exakt die
wahre Ratenkonstante. Mit Methode 3 ergibt sich eine geringe Überschätzung, mit Methode 4 eine
deutliche Unterschätzung der wahren Ratenkonstante. Die geringste Ratenkonstante wird für die
geringste Quellbreite ermittelt, da hier die Korrektur durch β am größten ist (vergl. Tab 1).
Da die bisher gezeigten Mittelwerte und Standardabweichungen repräsentativ für das Ensemblemittel
sind, nicht jedoch für die einzelnen Realisierungen, wurde ein weiteres Maß zum Vergleich der
anhand der vier Methoden bestimmten Ratenkonstanten entwickelt. Abb. 3 zeigt die Wahrscheinlichkeit,
mit der eine Methode zum Erfolg führen kann, worunter hier verstanden wird, dass die Abbaurate
anhand der Methode mit einer gewünschten Genauigkeit ermittelt wird. Die gewünschte Genauigkeit
wird als sogenannten Fehlerfaktor angegeben. Ein Fehlerfaktor von 10 entspricht dem Intervall 0.1 bis
10 der normierten Ratenkonstanten, wobei dieses Intervall durch Division und Multiplikation von 1.0
mit dem Fehlerfaktor (10) ermittelt wird. Dies entspricht somit der umgangssprachlichen Formulierung
„... innerhalb einer Größenordnung ...“. Ein Fehlerfaktor von 5 entspricht somit dem Intervall 0.2 bis 5
der normierten Ratenkonstanten. Abb. 3 gibt daher die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass eine
„gemessene“ Ratenkonstante innerhalb des durch den Fehlerfaktor aufgespannten Intervalls liegt.
Abb. 3a zeigt für die geringste Heterogenität, dass die Wahrscheinlichkeit, die Abbauratenkonstante
mit einem Fehlerfaktor kleiner als 2.0 zu bestimmen („ ... bis auf einen Faktor zwei ...“), für Methode 1
ca. 70 %, für Methode 2 ca. 90%, für Methode 3 ca. 55% und für Methode 4 ca. 30% beträgt. Wird der
Fehlerfaktor auf 5 erhöht, dann erhält man mit Methoden 1 bis 3 eine Erfolgswahrscheinlichkeit von
100%, nur mit Methode 4 beträgt die Erfolgswahrscheinlichkeit ca. 70%. Je geringer die Werte einer
Methode in Abb. 3 sind, desto geringer ist die Wahrscheinlichkeit, die Abbauratenkonstante mit der
gewünschten Genauigkeit bestimmen zu können. Wie Abb. 3 zeigt, sinkt für alle Methoden die Erfolgswahrscheinlichkeit
mit zunehmender Heterogenität. Beträgt die Erfolgswahrscheinlichkeit von Methode
1 für einen Fehlerfaktor von 5 noch ca. 100% für die geringste Heterogenität, so sinkt diese
Wahrscheinlichkeit auf 70%, 50% und schließlich 35% für die höheren Heterogenitätsklassen. Für
Methoden 2 bis 4 sind die Werte analog Abbildung 3 zu entnehmen.
Abb. 3 erlaubt daher einen direkten Vergleich der in dieser Arbeit untersuchten vier Methoden. Wird
die Ratenkonstante in einem stark heterogenen Aquifer beispielsweise auf einen Faktor zehn genau
benötigt, betragen die Erfolgswahrscheinlichkeiten ca. 80%, 95%, 80% und 60% für Methoden 1 bis 4
(Abb. 3c). Für alle Heterogenitätsklassen liefert Methode 2 die höchste Wahrscheinlichkeit, das
richtige Ergebnis zu bekommen. Für mittlere bis hohe Heterogenitäten folgt Methode 4 an zweiter
Stelle, während diese Methode für geringe Heterogenität die schlechtesten Erfolgswahrscheinlichkeiten
aufweist. Obwohl Methode 1 die einfachste Methode ist, liefert sie sehr ähnliche Ergebnisse wie
Methode 4. Für geringe Heterogenitäten ergeben sich mit Methode 1 sogar die besseren
Abschätzungen der Ratenkonstante. Methode 3 zeigt – bis auf geringe Heterogenität – immer die
geringste Erfolgswahrscheinlichkeit.
Für größere Quellbreiten ergeben sich qualitativ dieselben Ergebnisse. Methode 2 ist unabhängig von
der Quellbreite, daher ist auch für Quellbreiten von 8 m oder 16 m die Erfolgswahrscheinlichkeit von
Methode 2 dieselbe wie im Falle von 4 m. Für die anderen Methoden ergeben sich mit zunehmender
Quellbreite höhere Erfolgswahrscheinlichkeiten. So steigt z.B. die Erfolgswahrscheinlichkeit von
Methode 3 für σ²ln(K) = 2.7 von 35% für eine Quellbreite von 4 m (Abb. 3c) auf 40% für eine
Quellbreite von 8 m und ca. 50% für eine Quellbreite von 16 m. Somit steigt die Erfolgswahrscheinlichkeit
für Methoden 1, 3 und 4 mit der Quellbreite an, erreichen aber dennoch nicht die
Erfolgswahrscheinlichkeit von Methode 2.
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