Existência, Unicidade e Decaimento Exponencial das Soluç ... - UFRJ

trabalhando dentro do intervalo limitado Ω já que os resultados existentes
de continuaç ão única para a equação de KdV (veja [17, 21]) requerem que
a solução u esteja em L ∞ (0, T, H s (Ω)) com s > 3/2, e no nosso caso, u ∈
L 2 (0, T ; H0(Ω)) 1 ∩ L ∞ (0, T ; L 2 (Ω)). Nesse caso, a estratégia de ganho de
regularidade é a seguinte: inicialmente, diferenciamos a equação em (1) com
respeito a t e analisamos a regularidade de v = u t , a qual é uma solução de
⎧
v t + v x + v xxx + (u(x, t)v) x + a(x)v = 0, em Ω × (0, T )
⎪⎨ v(0, t) = v(L, t) = 0 t ∈ (0, T )
(8)
v x (L, t) = 0 t ∈ (0, T )
⎪⎩ v(x, 0) = v 0 x ∈ Ω
onde u ∈ L 2 (0, T, H0(Ω)) 1 ∩ L ∞ (0, T, L 2 (Ω)) é a solução fraca de (1) e v 0 =
v(x, 0) = u t (x, 0) em H −3 (Ω). Claro que, se u ≡ 0 em ω × (0, T ), v ≡ 0 em
ω × (0, T ).
Observe que o modelo anterior (8) pode ser visto como um equação linearizada
da KdV. Assim, inspirado pelo trabalho de Rósier em [15], procederemos
como no caso linear, i.e., combinando técnicas de multiplicativas e o
argumento de ”Compacidade-Unicidade”(veja [22]) que é útil para controlar
os termos extras que o ”potencial”u(x, t) produz. Isto nos permite provar
que v ≡ 0 em ω × (0, T ) nos dá v ∈ L 2 (0, T, H0(Ω)) 1 ∩ L ∞ (0, T, L 2 (Ω)). Isso
nos garante a regularidade necessária para u, a fim de aplicar os resultados
de continuação única obtidos em [17].
Observe que o ganho de regularidade vem do fato que v ≡ 0 em ω×(0, T ),
pois em princípio v 0 ∈ H −3 (Ω). Claro que, no final, acabamos mostrando que
v ≡ 0 em Ω×(0, T ), mas estes pasos intermediários de ganho de regularidade
desempenham um papel central no argumento.
A análise descrita acima foi dividida em quatro partes:
No Capítulo 1 apresentamos os resultados clássicos que serão utilizados
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