Existência, Unicidade e Decaimento Exponencial das Soluç ... - UFRJ

Assim, podemos extrair uma subsequência (que ainda será denotada por
u n ), tal que
u n,x (0, t) ⇀ u x (0, t) em H −1 (0, T ), quando n −→ ∞.
Com esta subsequência retornamos a (3.17) e concluímos que {u n,x (0, t)}
é limitada em L 2 (0, T ) . Novamente, podemos extrair uma subsequência que
será convergente, no sentido fraco, em L 2 (0, T ). Esse fato juntamente com a
discussão anterior, mostra que
u n,x (0, t) ⇀ u x (0, t) em L 2 (0, T ), quando n −→ ∞. (3.24)
Logo, a semicontinuidade inferior da norma, (3.24) e (3.17) implicam que
∫ T
0
∣
∣u 2 x(0, t) ∣ ∫ T ∣
dt ≤ lim inf ∣u 2 n,x(0, t) ∣ dt ≤ 2E(u 0 ) < ∞.
n−→∞
0
A desigualdade acima garante que podemos passar o limite em ambos
lados de (3.17) e mostrar que a solução u(t) do sistema (3.1), com dado
inicial u 0 ∈ L 2 (Ω), satisfaz
E(u(t)) − E(u 0 ) = − 1 2
Além disso,
∫ T
0
|u x (0, t)| 2 dt −
∫ T ∫ L
0
0
a(x)u 2 (x, t)dxdt.
‖u‖ 2 L 2 (0,T ;H0 1(Ω)) ≤ 4c2 T
81 ‖u 0‖ 4 L 2 (Ω) + 2T + L ‖u 0 ‖ 2 L
3
2 (Ω) . (3.25)
Agora, mostraremos que para qualquer T > 0 e R > 0, existe uma
constante positiva c = c(R, T ) > 0, tal que
‖u 0 ‖ 2 L 2 (Ω) ≤ c{ ∫ T
0
∫ T
u 2 x(0, t)dt + 2
0
∫ L
para toda solução de (3.1) com ‖u 0 ‖ L 2 (Ω) ≤ R.
0
a(x)u 2 (x, t)dxdt} (3.26)
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