Existência, Unicidade e Decaimento Exponencial das Soluç ... - UFRJ

é identicamente nulo, i.e., w ≡ 0. Isto contradiz (3.62) e, necessariamente,
(3.52) se verifica. □
Agora estamos em condições para provar o Teorema 3.2.3.
Demonstração do Teorema 3.2.3.
Seja u 0 ∈ L 2 (Ω). Diferenciando a equação em (3.1) com respeito a t obtemos
o sistema (3.38) com
v 0 (x) = v(x, 0) = u t (x, 0) = −u 0,x − u 0,xxx − u 0 u 0,x − a(x)u 0 ∈ H −3 (Ω).
Por outro lado, se u x (0, t) e a(x)u se anulam então v x (0, t) = 0 e a(x)v ≡
0. Consequentemente, segue do Lema 3.1.2 que v 0 ∈ L 2 (Ω). Logo, combinando
o Lema 3.1.1 e o sistema (1) obtemos
⎧
⎨
⎩
u t = v ∈ L ∞ (0, T ; L 2 (Ω)) ∩ L 2 (0, T ; H0(Ω)) 1 (3.65)
u xxx = −u t − u x − uu x − a(x)u, em (0, L) × (0, T )
(3.66)
u(0, t) = u(L, t) = 0, t ∈ (0, T ).
Assim, o Teorema 3.1.1 junto com (3.65) e (3.66) nos permite concluir que
u ∈ L 2 (0, T ; H 3 (Ω))∩H 1 (0, T ; L 2 (Ω)). Finalmente, usando a (P CU) provada
em [17, Corolário 1.2 e Teorema 4.2] temos que u ≡ 0.
□
3.3 Decaimento Exponencial de Soluções de
Pequenas Amplitudes
Seja S(·) o semigrupo linear associado a (3.1). Sabemos que
‖S(t)‖ L(L 2 (Ω)) ≤ Ce−µt (3.67)
em dois casos:
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