Existência, Unicidade e Decaimento Exponencial das Soluç ... - UFRJ

4. t −→ f(1 + it) ∈ Y , sendo contínua e nula no infinito,
munido da norma
‖f‖ F(X,Y )
= max(sup t ‖f(it)‖ X
, sup t ‖f(1 + it)‖ Y
).
Lema 1.7.1. O espaço F(X, Y ) é um espaço de Banach.
Definição 1.7.2. Definimos [X, Y ] θ como sendo
[X, Y ] θ = {u| u ∈ Σ(X, Y ), u = f(θ), para algum; f ∈ F(X, Y )}
munido da norma
‖u‖ [X,Y ]θ
= inf{‖f(θ)‖ F(X,Y )
| u = f(θ), f ∈ F(X, Y )}
Observação 1.7.1.
1. O espaço [X, Y ] θ é um espaço de Banach.
2. ∆(X, Y ) ⊂ [X, Y ] θ ⊂ Σ(X, Y ).
Teorema 1.7.1. Sejam X, Y dois espaços de Banach, 1 ≤ p 0 , p 1 < ∞,
0 < θ < 1. Então,
[L p 0
(0, T ; X), L p 1
(0, T ; Y )] θ = L p (0, T ; [X, Y ] θ )
onde 1 p = (1 − θ) 1 + θ 1 com normas equivalentes. Se 1 ≤ p 0 < ∞, temos
p 0 p 1
[L p 0
(0, T ; X), L ∞ (0, T ; Y )] θ = L p (0, T ; [X, Y ] θ )
onde 1 p = (1 − θ) 1 com normas equivalentes.
p 0
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