ExistÃªncia, Unicidade e Decaimento Exponencial das SoluÃ§ ... - UFRJ

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Resumo Este trabalho é dedicado ao estudo do decaimento exponencial da energia associada à equação de Korteweg-de-Vries num intervalo limitado com uma dissipação localizada . Combinando estimativas de energia, técnicas multiplicativas e argumentos de compacidade o problema é reduzido a provar a continuação única de soluções fracas. No caso em que a solução se anula numa vizinhança de ambos extremos do intervalo limitado onde equação é satisfeita, o problema é resolvido combinando um resultado de regularidade provado por T. Kato em [4] e resultados de continuação única para soluções regulares provados por J. C. Saut e B. Sheurer em [17]. Neste trabalho estudamos o caso geral e provamos a propriedade de continuação única em dois passos: primeiro, usando técnicas multiplicativas, mostramos que as soluções que se anulam em qualquer subintervalo de (0, L) são necessariamente regulares. Então, aplicamos os resultados de continuação única para soluções regulares provados por J.C.Saut and B.Sheurer. 2
Abstract This work is devoted to prove the exponential decay for the energy of solutions of the Korteweg-de Vries equation in a bounded interval with a localized damping term. Combining energy estimatives, multipliers and compactness arguments the problem is reduced to prove the unique continuation of weak solutions. The case where solutions vanish on a neighborhood of both extremes of the bounded interval where equation holds is solved combining a smoothing result by T. Kato [4] and results of unique continuation of smooth solutions by J. C. Saut and B. Scheurer [17]. In this work we study the general case and prove the unique continuation property in two steps: we first prove, using multipler techniques, that solutions vanishing on any subinterval are necessarilly smooth. We then apply the existing results on unique continuation of smooth solutions by J. C. Saut and B. Sheurer. 3
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Demonstração. A demonstração da
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Assim, ∫ T ∫ L 0 0 vxdxdt 2 ≤
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e Assim ∫ T ‖uw n,x ‖ L 2 (0,
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onde ⎧ ⎨ ϕ(x) = ⎩ v(x, 0) se
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Math. de Recheiches on Mathématiqu
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