Existência, Unicidade e Decaimento Exponencial das Soluç ... - UFRJ

1.9 Semigrupos de Operadores Lineares
Para a teoria de semigrupos de operadores lineares citamos como referências
[3], [14] e [20].
Definição 1.9.1. Seja X um espaço de Banach e L(X) a álgebra dos operadores
lineares e limitados de X. Diz-se que uma aplicação S : R + −→ L(X)
é um semigrupo de operadores lineares limitados de X se
1. S(0) = I, onde I é o operador identidade de L(X);
2. S(t + s) = S(t)S(s), ∀t, s ∈ R + .
Diz-se que o semigrupo S é de classe C 0 se
3. lim t−→0 + ‖(S(t) − I)x‖ = 0, ∀x ∈ X.
Proposição 1.9.1. Todo semigrupo de classe C 0 é fortemente contínuo em
R + , isto é, se t ∈ R + então
lim s−→t S(s)x = S(t)x, ∀x ∈ X.
Definição 1.9.2. O operador A : D(A) −→ X definido por
e
D(A) = {x ∈ X| lim h−→0 +
A(x) = lim h−→0 +
é dito gerador infinitesimal do semigrupo S.
S(h) − I
x existe}
h
S(h) − I
x, ∀x ∈ D(A)
h
Proposição 1.9.2. O gerador infinitesimal de um semigrupo de classe C 0 é
um operador linear e fechado e seu dominio é um espaço vetorial denso em
X.
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