Existência, Unicidade e Decaimento Exponencial das Soluç ... - UFRJ

Além disso,
∫ T
0 = lim inf {
n−→∞
≥ {
∫ T
0
0
∫ T
vn,x(0, 2 t)dt + 2
v 2 x(0, t)dt + 2
∫ T ∫ L
0
0
0
∫ L
0
a(x)v 2 dxdt},
a(x)v 2 ndxdt}
donde deduzimos que a(x)v ≡ 0 em Ω × (0, T ). Assim, v ≡ 0 em ω × (0, T )
e v x (0, t) = 0 em (0, T ).
Agora, temos dois casos a serem considerados:
• Existe uma subsequência {λ k } de {λ n }, tal que λ k −→ 0 quando k −→
+∞. Neste caso, o limite de v satisfaz o problema linear
⎧
v t + v x + v xxx = 0, em Ω × (0, T )
⎪⎨ v(0, t) = v(L, t) = 0, ∀t ∈ (0, T )
⎪⎩
v x (L, t) = v x (0, t) = 0, ∀t ∈ (0, T )
v(x, t) = 0, ∀(x, t) ∈ ω × (0, T ).
(3.37)
Então, pelo Teorema de Unicidade de Holmgren, v ≡ 0 em Ω × (0, T ),
o que contradiz (3.36).
• Existe uma subsequência {λ k } de {λ n } tal que λ k −→ λ > 0, quando
k −→ +∞. Neste caso, a função limite v resolve
⎧
v ⎪⎨ t + v x + v xxx + λvv x + a(x)v = 0, em Ω × (0, T )
v(0, t) = v(L, t) = 0, ∀t ∈ (0, T )
⎪⎩ v x (L, t) = 0, ∀t ∈ (0, T )
satisfazendo a condição extra
⎧
⎨ v x (0, t) = 0 ∀t ∈ (0, T )
⎩
v ≡ 0 em ω × (0, T ).
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