Existência, Unicidade e Decaimento Exponencial das Soluç ... - UFRJ

H s 0(Ω) = {u|
u ∈ H s (Ω),
∂ j u
∂η j = 0, 0 ≤ j < s − 1 2 }.
Teorema 1.5.2. Sejam Ω, um subconjunto bem regular de R n ,
s 1 > s 2 ≥
0, s 1 e s 2 ≠ k + 1 2 , k ∈ Z. Se s = (1 − θ)s 1 + θs 2 ≠ k + 1 2 , então
e
[H s 1
0 (Ω), H s 2
0 (Ω)] θ = H s 0(Ω)
[H m 0 (Ω), H 0 (Ω)] θ = H s 0(Ω), com s = (1 − θ)m ≠ k + 1 2
com normas equivalentes.
1.6 Espaços L p (0, T ; X) e Distribuições Vetoriais
Sejam X um espaço de Banach real munido da norma ‖·‖ X
, T um numero
real positivo e 1 ≤ p < ∞. Representa-se por L p (0, T ; X), o espaço de Banach
de funções u : (0, T ) −→ X, tais que u é mesuravel e ‖u(t)‖ X
∈ L p (0, T ),
munido da norma.
( ∫ T
) 1/p
‖u‖ L p (0,T ;X) = ‖u(t)‖ p X
.
Quando p = 2 e X = H é um espaço de Hilbert, o espaço L p (0, T ; H) é um
espaço de Hilbert cujo produto interno é dado por :
(u, v) L p (0,T ;H) =
0
∫ T
0
(u(s), v(s)) H ds.
Por L ∞ (0, T ; X) representaremos o espaço de Banach das (classes de) funções
u : (0, T ) −→ X mesuráveis e essencialmente limitadas, isto é;
sup ess ‖u(t)‖ X
< ∞.
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