Existência, Unicidade e Decaimento Exponencial das Soluç ... - UFRJ

Suponhamos, que (3.52) não se verifique. Então, existe uma sequência de
funções v n ∈ L ∞ (0, T ; L 2 (Ω)) ∩ L 2 (0, T ; H 1 0(Ω)), que resolve (3.39) e
lim
n−→∞
∫ T
0
v 2 n,x(0, t)dt +
‖v n ‖ 2 L 4 (0,T ;L 4 (Ω))
∫ T ∫ L
0
0
a(x)v 2 ndxdt + ‖v n,0 ‖ 2 H −3 (Ω)
= ∞. (3.53)
Seja λ n = ‖v n ‖ L 4 (0,T ;L 4 (Ω)) e para cada n ∈ N definamos w n(x, t) =
v n (x, t)/λ n . A função w n satisfaz
⎧
w n,t + w n,x + w n,xxx + (uw n ) x + a(x)w n = 0, em Ω × (0, T )
⎪⎨ w n (0, t) = w n (L, t) = 0, ∀ t > 0
e
⎪⎩
w n,x (L, t) = 0, ∀ t > 0
w n (x, 0) = v n (x, 0), /λ n = v n,0 /λ n ∀ x ∈ Ω.
Além disso,
∫ T
0
w 2 nx(0, t)dt +
quando n −→ ∞.
∫ T ∫ L
0
(3.54)
‖w n ‖ L 4 (0,T,L 4 (Ω)) = 1 (3.55)
0
a(x)wndxdt 2 + ‖w n0 ‖ 2 H −3 (Ω)
−→ 0, (3.56)
Usando (3.51), (3.55) e (3.56) segue que w n (x, 0) é limitada em L 2 (Ω) e,
portanto, de acordo com (3.46),
para alguma constante C > 0. Por outro lado,
‖w n ‖ L 2 (0,T ;H0 1 (Ω))
≤ C, (3.57)
‖(uw n ) x ‖ L 2 (0,T ;L 1 (Ω)) ≤ ‖u xw n ‖ L 2 (0,T ;L 1 (Ω)) + ‖uw nx‖ L 2 (0,T ;L 1 (Ω))
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